HMM 模型适用于隐变量是离散的值的时候，对于连续隐变量的 HMM，常用线性动态系统描述线性高斯模型的态变量，使用粒子滤波来表述非高斯非线性的态变量。
LDS 又叫卡尔曼滤波，其中，线性体现在上一时刻和这一时刻的隐变量以及隐变量和观测之间：
$$
\begin{align}
z_t&=A\cdot z_{t-1}+B+\varepsilon\
x_t&=C\cdot z_t+D+\delta\
\varepsilon&\sim\mathcal{N}(0,Q)\
\delta&\sim\mathcal{N}(0,R)
\end{align}
$$
类比 HMM 中的几个参数：
$$
\begin{align}
p(z_t|z_{t-1})&\sim\mathcal{N}(A\cdot z_{t-1}+B,Q)\
p(x_t|z_t)&\sim\mathcal{N}(C\cdot z_t+D,R)\
z_1&\sim\mathcal{N}(\mu_1,\Sigma_1)
\end{align}
$$
在含时的概率图中，除了对参数估计的学习问题外，在推断任务中，包括译码，证据概率，滤波，平滑，预测问题，LDS 更关心滤波这个问题：$p(z_t|x_1,x_2,\cdots,x_t)$。类似 HMM 中的前向算法，我们需要找到一个递推关系。
$$
p(z_t|x_{1:t})=p(x_{1:t},z_t)/p(x_{1:t})=Cp(x_{1:t},z_t)
$$
对于
-
$t=1$ ，$p(z_1|x_1)$，称为 update 过程，然后计算$p(z_2|x_1)$ ，通过上面的积分进行，称为 prediction 过程。 -
$t=2$ ，$p(z_2|x_2,x_1)$ 和$p(z_3|x_1,x_2)$
我们看到，这个过程是一个 Online 的过程，对于我们的线性高斯假设，这个计算过程都可以得到解析解。
-
Prediction： $$ p(z_t|x_{1:t-1})=\int_{z_{t-1}}p(z_t|z_{t-1})p(z_{t-1}|x_{1:t-1})dz_{t-1}=\int_{z_{t-1}}\mathcal{N}(Az_{t-1}+B,Q)\mathcal{N}(\mu_{t-1},\Sigma_{t-1})dz_{t-1} $$ 其中第二个高斯分布是上一步的 Update 过程，所以根据线性高斯模型，直接可以写出这个积分： $$ p(z_t|x_{1:t-1})=\mathcal{N}(A\mu_{t-1}+B,Q+A\Sigma_{t-1}A^T) $$
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Update: $$ p(z_t|x_{1:t})\propto p(x_t|z_t)p(z_t|x_{1:t-1}) $$ 同样利用线性高斯模型，也可以直接写出这个高斯分布。