diff --git a/stoproc/lection08.tex b/stoproc/lection08.tex new file mode 100644 index 0000000..15dfb3a --- /dev/null +++ b/stoproc/lection08.tex @@ -0,0 +1,223 @@ +\section{Винеровский процесс} + +\paragraph{Броуновское движение} + +Пусть $\bar{\xi}(t) = \left( \xi_1(t), \xi_2(t), \dots, \xi_n(t) \right) $ +-- координаты частицы. +Предположения: +\begin{enumerate} + \item Движения в ортогональных направлениях независимы; + \item $\xi_k(t) \sim N(0, \sqrt{D\xi_k(t)})$; + \item $\bar{\xi}(t_1)$ и $\bar{\xi}(t_2) = \bar{\xi}(t_1)$ -- независимы; + \item Закон распределения $\bar{\xi}(t+h) - \bar{\xi}(t)$ не должен зависеть от $t$. + Из последнего и первого получается, что $\xi_k (t+h) = \xi_k(t) + \xi_k(t+h) - \xi_k(t)$, + тогда $D\xi_k(t+h) = D\xi_k(t) + D\xi_k(h)$, но этому свойству удовлетворяет только + линейная функция: $D\xi_k(t) = \sigma^2 t$. +\end{enumerate} +-- эти тредования сформулировал не Броун, а Винер. + +\paragraph{Эквивалентные определения} +\begin{definition}\label{lec_8:viner} + $\bar{W}(t) = \left( W_1(t), W_2(t), \dots \right) $ называется винеровским процессом, + если: + \begin{enumerate} + \item $\bar{W}(0) = 0$; + \item Для $t_1 < t_2 < \dots < t_N$: $\bar{W}(t_1)$, $\bar{W}(t_2) - \bar{W}(t_1)$, $\dots$, + $\bar{W}(t_N) - \bar{W}(t_{N-1})$ -- независимы. + \item $\bar{W}(t) - \bar{W}(s) \sim N(0, \sigma^2 |t-s| E_n)$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +Пусть $W_t$ -- скалярный винеровский процесс. Из определения \ref{lec_8:viner} +получаем, что +\begin{enumerate} + \item $W_0 = 0$; + \item $W_t$, $W_{t_2} - W_{t_1}$, $\dots$, $W_{t_N} - W_{t_{N-1}}$ -- независимы; + \item $W_t - W_s \sim N(0, \sigma^2 \sqrt{|t-s|})$ +\end{enumerate} + +\begin{utv} + Вместо этого определения можно взять за определение следующие свойства: + \begin{enumerate} + \item $W_0 = 0$; + \item $k_W(t, s) = \sigma^2 \cdot \min(t, s)$; + \item $W_t - W_s \sim N(0, \sigma^2 \sqrt{|t-s|})$. + \end{enumerate} +\end{utv} +\begin{proof} + Из первого правое: + $k_W(t,s) = \cov(W_t, W_s) = \cov(W_s + W_t - W_s, W_s) = \cov(W_s, W_s) + \cancelto{0}{\cov(W_t - W_s, W_s)} + = DW_s = \sigma^2 s$; + + В обратную сторону: + $k_W(t, s) = \cov(W_t - W_s, W_s)$ + % TODO дописать +\end{proof} + +\paragraph{Конечномерные распределения винеровского процесса} + +Для $t_1 < t_2 < \dots < t_N$ рассмотрим случайный вектор $\bar{\xi}^T = (\xi_{t_1}, \xi_{t_2}, \dots, \xi_{t_N})$. Обозначим +\[ + \eta = A\bar{\xi} = \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + -1 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & -1 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & -1 & 1 + \end{pmatrix} \bar{\xi} = \begin{pmatrix} + \xi_{t_1} \\ + \xi_{t_2} - \xi_{t_1} \\ + \xi_{t_3} - \xi_{t_2} \\ + \dots + \end{pmatrix} +\] + +\[ + p_{\bar{\xi}}(\bar{x}) = p_{\eta} (A\bar{x}) = \prod_{k=1}^{N} p_{\xi_{t_k} - \xi_{t_{k-1}}} (x_k - x_{k-1}) + = \prod_{k=1}^{N} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma \sqrt{t_k - t_{k-1}}} e^{- \dfrac{(x_k - x_{k-1})^2}{2\sigma^2 (t_k - t_{k-1})}} +\] + +\paragraph{Свойства винеровского процесса} +\begin{enumerate} + \item $\forall t > 0 : P(W_t > 0) = P(W_t < 0) = \dfrac{1}{2}$; + \item $P(W_t > x) = \int\limits_0^{+\infty} p_{W_t}(y) \, dy = 1 - \Phi \left( \dfrac{x}{\sigma\sqrt{t}} \right) $; + \item В частности, $P( | W_t | > 3\sigma\sqrt{t} ) = 0.003$; + \item Если обозначить $\tau_x = \inf \left\{ t, W_t \geqslant x \right\} $, + тогда $P(\tau_x < s) = 2 \left( 1 - \Phi \left( \dfrac{x}{\sigma \sqrt{s}} \right) \right) $. + \begin{proof} + С одной стороны, так как в винеровском процессе можно переносить начало координат, + то если он уже побывал в точке $x$, тогда + \[ + P(W_t \geqslant x | \tau_x < t) = P(W_t < x | t_x < t) = \dfrac{1}{2} + \] + . + С другой стороны, + \[ + \dfrac{1}{2} = P(W_t \geqlant x | t_x < t) = \dfrac{P(W_t \geqslant x, \tau_x < t)}{P(\tau_x < t)} + \] + отсюда и следует утверждение этого свойства. + \end{proof} + Тогда можно найти плотность распределения $\tau_x$: + \[ + p_{\tau_x} ( t) = 2 \left( \dfrac{e^{- \dfrac{x^2}{2\sigma^2 t}}}{\sqrt{2\pi}} \right) \dfrac{x}{\sigma} \dfrac{1}{2 t \sqrt{t}} + = \dfrac{x}{\sigma t \sqrt{t} \sqrt{2\pi}} e^{-\dfrac{x^2}{2\sigma^2 t}} + \] + Причём, $M\tau_x = \infty$ (так как соответствующий интеграл расходится), + то есть винеровский процесс достигнет любой отметки $x$, но неизвестно когда. +\end{enumerate} + + +\begin{definition} + Случайные процессы $\xi_t$ и $\eta_t$ называются \emph{стохастически эквивалентными}, если + $\forall t : P(\xi_t = \eta_t) = 1$. +\end{definition} + +% дописать пример +\begin{ex} + $t \in [0, 1] = T$, $\Omega = [0, 1]$, $\xi_t (\omega) = \begin{cases} + 0, &t \neq \omega \\ + \tau(\omega), &t = \omega + \end{cases}$ + $M|\xi_t - 0|^2 = 0$ +\end{ex} + +\begin{definition} + Случайные процессы $\xi_t$ и $\eta_t$ \emph{неразличимы}, если + $P(\forall t \xi_t = \eta_t) = 1$. +\end{definition} + +Обозначим случайный процесс +$\xi_t \in \mathcal{L}_2$ (квадратично-интегрируемые: $M\xi_t^2 < \infty$). + + +\begin{definition} + Случайная величина $\eta$ называется средне-квадратичным пределом $\xi_t$ при $t\to t$, + записывается как $\eta = \underset{t\to t_0}{l.i.m.} \bar{\xi}_t$, + если $M|\bar{\xi}_t -\bar{\eta}|^2 = M \sum_k |\xi_k(t) - \eta_k| \to 0$. +\end{definition} + +\begin{ex} + $a = t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_N = b$, + \[ + \underset{\max_k |\Delta t_k| \to 0}{l.i.m.} \sum_{k=0}^{N-1} |W_{t_{k+1}} - W_{t_k}|^2 + = \sigma^2 (b-a) + \] + \begin{proof} + \[ + M \sum_{k=0}^{N_1} (W_{t_{k+1} - W_{t_k}})^2 = \sum_{k=0}^{N-1} M(W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2 + = \sum_{k=0}^{N-1} \sigma^2 (t_{k+1} - t_{k}) = \sigma^2 (b-a). + \] + Тогда выражение $M \left|\sum_{k=0}^{N-1} (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2 - \sigma^2 (b-a)\right|^2$: + \begin{multline*} + M \left|\sum_{k=0}^{N-1} (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2 - \sigma^2 (b-a)\right|^2 + = D \left( \sum_{k=0}^{N-1} (W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2 \right) = \\ + = \sum_{k=0}^{N-1} D \left( W_{t_{k+1}} - W_{t_k} \right)^2 + = \sum_{k=0}^{N-1} \left[ + M(W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^4 - \left( M(W_{t_{k+1}} - W_{t_k})^2 \right) \right] = \\ + = \sum_{k=0}^{N-1} \left[ 3\sigma^4 (t_{k+1} - t_k)^2 - \sigma^4 (t_{k+1} - t_k)^2 \right] + \leqslant 2 \max |\Delta t_k| \cdot \sum_{k=0}^{N-1} (t_{k+1} - t_k) \to 0 + \end{multline*} + \end{proof} +\end{ex} + +\begin{remark} + Если $\bar{\eta} = \underset{t \to t_0}{l.i.m.} \bar{\xi}_t$, то $\bar{eta}$ + единственнен с точностью до стохастической эквивалентности. +\end{remark} + +\begin{remark} + Если $\bar{\eta} = \underset{t \to t_0}{l.i.m.} \bar{\xi}_t \Leftrightarrow \eta_k = \underset{t \to t_0}{l.i.m.} \xi_k(t)$. Именно поэтому далее будем рассматривать только одномерные процессы. +\end{remark} + +\begin{theorem} + Верны следующие утверждения: + + \begin{enumerate} + \item $\exists \underset{t \to t_0}{l.i.m.} \xi_t = \eta \Leftrightarrow + \begin{cases} + \exists \lim_{t\to t_0, \tau \to t_0} k_{\xi} (t, \tau); \\ + \exists \lim_{t\to t_0} M \xi_t; + \end{cases}$; + \item $\exists \underset{t \to t_0}{l.i.m.} \xi_t = \eta \Leftrightarrow + \exists \lim_{t\to t_0, \tau \to t_0} M(\xi_t \xi_\tau) = A$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +Доказывается эта теорема с помощью \emph{стохастического критерия Коши}. + +\begin{theorem}[Стохастический критерий Коши] + $\exists \underset{t \to t_0}{l.i.m.} \xi_t = \eta \Leftrightarrow + \exists \underset{t \to t_0, \tau \to t_0}{l.i.m.} |\xi_t - \xi_\tau| = 0$ + ($\underset{t \to t_0, \tau \to t_0}{l.i.m.} |\xi_t - \xi_\tau| = 0 + \Leftrightarrow \lim_{t\to t_0, \tau\to t_0} M(\xi_t - \xi_\tau)^2 = 0$) +\end{theorem} + +\subsecion{Непрерывность случайного процесса} + +\begin{definition} + Случайный процесс $\xi_t$ называется непрерывным в среднеквадратическом смысле + в точке $t_0$, если: + \[ + \underset{t \to t_0, \tau \to t_0}{l.i.m.} \xi_t = \xi_{t_0}. + \] +\end{definition} + +\begin{theorem} + Случайный процесс $\xi_t$ непрерывен в точке $t_0$ тогда и только тогда, когда + \[ + \begin{cases} + \exists \lim_{t \to t_0} M\xi_t = M\xi_{t_0}, \\ + \exists \lim_{t \to t_0, s\to t_0} k_\xi(t, s) = D\xi_{t_0}. + \end{cases} + \] +\end{theorem} + +\begin{ex} + \begin{enumerate} + \item Рассмотрим $W_t$, тогда $MW_t = 0$, $k_W(t, s) = \sigma^2 \min(t, s)$, + поэтому $W_t$ непрерывен в средне квадратическом; + \item $\xi_t$ -- пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Все траектории у + этого процесса разрывны, но если вспомнить $M\xi_t = \lambda t, k_\xi(t, s) = \lambda \cdot \min(t, s)$, то есть $\xi_t$ непрерывен в средне квадратичном. + Этот факт иллюстрируется тем, что в любой точке $t_0$ то, что + данная траектория имеет скачок в $t_0$ имеет вероятность $0$. + \end{enumerate} +\end{ex} diff --git a/stoproc/stoproc.tex b/stoproc/stoproc.tex index 5a4c6bb..29ceebd 100644 --- a/stoproc/stoproc.tex +++ b/stoproc/stoproc.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \input{stoproc/lection06} \input{stoproc/lection07} + \input{stoproc/lection08} % \input{stoproc/lection9}