From 1ec7065596b6a334f1157936498040a2b6c7e58d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haruspex47 Date: Wed, 17 Jan 2024 13:36:50 +0300 Subject: [PATCH] ltl-upd --- konspect.tex | 9 ++++++ lection10.tex | 88 +++++++++++++++++++++++++++++---------------------- 2 files changed, 60 insertions(+), 37 deletions(-) diff --git a/konspect.tex b/konspect.tex index 1410f4b..3f34fcf 100644 --- a/konspect.tex +++ b/konspect.tex @@ -91,6 +91,15 @@ } \renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$} +\numberwithin{remark}{section} + +\frenchspacing + +\usepackage[labelsep=period]{caption} +\captionsetup{font = small} + + + \begin{document} \pagestyle{plain} diff --git a/lection10.tex b/lection10.tex index e0ef4ce..ade41f3 100644 --- a/lection10.tex +++ b/lection10.tex @@ -17,57 +17,71 @@ % \end{theorem} \begin{ex}[критерий Неймана-Пирсона] - $X_1,\dots,X_n \sim N(a, \sigma)$, $a = a_0$ - известно - $H_0 : \sigma = \sigma_0$ - $H_1 : \sigma = \sigma_1$ + $X_1,\dots,X_n \sim N(a, \sigma)$, $a = a_0$; + $H_0 : \sigma = \sigma_0$, + $H_1 : \sigma = \sigma_1$. \begin{multline*} \dfrac{L(\bar X, \sigma_1)}{L(\bar X, \sigma_0)} - = \prod \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_1} \exp\left(- \dfrac{(x_k - - a_0)^2}{2\sigma_1^2}\right)}{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_0} \exp\left(- \dfrac{(x_k - a_0)^2}{2\sigma_0^2}\right)} - = \left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma_1}\right)^n \exp\left(-\dfrac{1}{2\sigma_1^2} \sum (X_k-a_0)^2 + \dfrac{1}{2\sigma_0^2} \sum (X_k-a_0)^2 \right) = \\ - = \left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma_1}\right)^n \exp\left( -\dfrac{1}{2} \sum \dfrac{\sigma_0^2 (X_k-a_0)^2 + \sigma_1^2 (X_k - a_0)^2}{\sigma_1^2 \sigma_0^2} \right) \geqslant C + = \prod \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_1} \exp\left(- \frac{(X_k - + a_0)^2}{2\sigma_1^2}\right)}{\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_0} \exp\left(- \frac{(X_k - a_0)^2}{2\sigma_0^2}\right)} + = \left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma_1}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{2\sigma_1^2} + \sum (X_k-a_0)^2 + \frac{1}{2\sigma_0^2} \sum (X_k-a_0)^2 \right) = \\ + = \left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma_1}\right)^n \exp\left( -\frac{1}{2} \sum + \frac{\sigma_0^2 (X_k-a_0)^2 + \sigma_1^2 (X_k - a_0)^2}{\sigma_1^2 + \sigma_0^2} \right) \geqslant C. \end{multline*} - +То есть \begin{equation*} - \left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma_1}\right)^n \exp\left(-\dfrac{1}{2} \dfrac{\sigma_0^2 - \sigma_1^2}{\sigma_1^2 \sigma_0^2} \sum (X_k-a_0)^2\right) \geqslant C + \left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma_1}\right)^n \exp\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sigma_0^2 + \sigma_1^2}{\sigma_1^2 \sigma_0^2} \sum + (X_k-a_0)^2\right) \geqslant C. \end{equation*} - Если знать, что из $ \sigma_0 $, $ \sigma_1 $ больше, то можно уже построить критерий вида: - $$ S = \left\{ \sum(X_k-a_0)^2 \gtrless C_1 \right\} $$ + Если знать, что из $ \sigma_0 $, $ \sigma_1 $ больше, то можно уже построить + критерий вида + $$ S = \left\{ \sum(X_k-a_0)^2 \gtrless C_1 \right\}. $$ \end{ex} \section{Лекция 10 - 2023-11-08 - Критерий Вальда} -\subsection{Графическая иллюстрация критерия отношения правдоподобия} +% \subsection{Графическая иллюстрация критерия отношения правдоподобия} \begin{figure}[h!] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Figures/10-plot1.png} - \caption{Иллюстрация критерия Неймана-Пирсона} - \label{fig:10-plot1} + \begin{minipage}{0.45\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Figures/10-plot1.png} + \caption{Иллюстрация критерия Неймана -- Пирсона} + \label{fig:10-plot1} + \end{minipage}\hfill + \begin{minipage}{0.45\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Figures/10-plot2.png} + \caption{Иллюстрация критерия Вальда. Снизу область принятия $H_0$; + сверху область принятия $H_1$; + посередине область продолжения наблюдений.} + \label{fig:10-plot2} + \end{minipage} \end{figure} -Таким образом, вывод по верности гипотез может зависеть от объема выборки n. - -\subsection{Графическая иллюстрация критерия Вальда} - -\begin{figure}[h!] - \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Figures/10-plot2.png} - \caption{Иллюстрация критерия Вальда} - \label{fig:10-plot2} -\end{figure} - -На рисунке \ref{fig:10-plot2}: -cнизу область принятия $H_0$; -сверху область принятия $H_1$; -посередине область продолжения наблюдений. -Как только после очередного наблюдения статистика перешла вниз или вверх, наблюдения прекращаются и принимается нужная гипотеза. - -Статистика критерия $(\nu, X_1, X_2, \dots, X_n)$, -$\nu = min \{ n : Z_n \notin (B, A) \}$, -$z_n = \dfrac{L(X_1, \dots, X_n, \theta_1)}{L(X_1, \dots, X_n, \theta_0)}$ - -Критерий: Пусть 0