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\section{Matrices Estocasticas}
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Aquí presentaremos las soluciones a los problemas planteados en la seccion 1.3 de la letra del obligatorio.
\vspace{1em}
Empecemos con una pequeña introduccion de conceptos para esta seccion del trabajo:
\vspace{1em}
Matriz estocastica: Una matriz $n\times n$ se dice $Estocastica$ si es no negativa en cada una de sus entradas y la suma de las mismas en cada fila es igual a $1$.
\vspace{1em}
Valores propios (o Auto-Valores): Sea $A_{n\times n}$, $\lambda$ es un valor propio de $A$ si existe $x \in{} \mathbb{R}^{n}$ con $x\neq 0$ tal que $A*x = \lambda*x$, entonces $x$ es denominado como vector propio asociado al valor propio $\lambda$.
\vspace{1em}
Radio espectral de una matriz: El radio espectral de una matriz es el mayor de los valores propios asociados a dicha matriz.
\vspace{1em}
Combinacion convexa: Es una combinacion lineal de puntos en un espacio a fin donde todos los coeficientes son no negativos y suman 1.
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\subsection{Problema 1.3.1.1}
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Problema : Sea $S$ una matriz $Estocastica$ demostrar que $1$ es un valor propio de $S$.
Demostracion:
\vspace{1em}
Tenemos:
\[
S =\begin{bmatrix}
a_{11}& .& .& .& a_{1n}\\
.& .& & & .\\
.& & .& & .\\
.& & & .& .\\
a_{n1}& .& .& .& a_{nn}
\end{bmatrix}
\]
\vspace{1em}
Siendo $S$ una matriz estocastica, esto nos dice que cumple con lo siguiente, $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1$ para cada $i\in{1,...,n}$ fijo, ademas todas sus entradas son no negativas.
\vspace{1em}
Entonces, Por la definicion de valor propio tenemos que $\exists x \in{} \mathbb{R}^{n}$ con $x\neq 0$ tal que $S*x = \lambda*x$.
\vspace{1em}
Luego usamos por conveniencia el vector propio $x_{1}=\begin{pmatrix}
1& .& .& .& 1
\end{pmatrix}^t$ con $n$ filas y $1$ columna, por la singularidad de que $S$ es estocastica tenemos que $S*x_{1}=1$. Luego si $S*x_{1}=1$ entonces $\lambda*\begin{pmatrix}
1& .& .& .& 1
\end{pmatrix}^t=1$, por lo tanto $\lambda = 1$, entonces $S$ tiene valor propio $\lambda = 1$.
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\newpage
\subsection{Problema 1.3.1.2}
%
Problema: Mostrar que $p(S)=1$, donde $p(.)$ es el radio espectral.
Demostracion:
\vspace{1em}
Por absurdo diremos $\lambda>1$ y un vector propio $x \neq0$ tal que $S*x = \lambda*x$. Sea $x_{g}$ el elemento mas grande de $x$ por lo tanto el vector propio mas grande, dado que cualquier multiplo escalar de $x$ tambien satisface $S*x = \lambda*x$ entonces podemos suponer que $x_{g}>0$ dado que las entradas de $S$ son no negativas y sus filas suman $1$ por ser estocastica, entonces cada entrada $\lambda*x$ es una combinacion convexa de los elementos de $x$. Entonces ninguna entrada en $\lambda*x$ puede ser mayor que $x_{g}$. Pero $(\lambda>1) \Rightarrow{(\lambda*x_{g}>x_{g})}$ y esto es una contradiccion porque tomamos a $x_{g}$ como el mas grande, entonces el valor propio mas grande de $S$ es $\lambda=1$.
\vspace{1em}
Observacion: Si $S$ es una matriz irreducible se puede aplicar el teorema de Perron-Frobenius que dice que toda matriz estocastica irreducible cumple que $\left | p(S) \right | = 1$ seindo $p(S)$ el radio espectral da la matriz S. Esto serviria para concluir facilmente 1y2 pero siempre y cuando sea estocastica e irreducible de lo contrario esto no tiene por que ser cierto.
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\subsection{Problema 1.3.1.3}
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Problema: Suponga que $\lambda$ satisface las condiciones anteriores para ser el espectro de $S$, y que
se puede encontrar una matriz $A$ no-negativa con espectro $\lambda$. Si $x$ es un auto-vector
de $A$ correspondiente al auto-valor $1$ con entradas positivas, mostrar que $D^{-1}AD$
es una matriz estocástica con espectro $\lambda$, donde $D = diag(x)$.
Demostracion:
\vspace{1em}
Tenemos que $\lambda$ satisface las condiciones necesarias para ser espectro de $S$ siendo el espectro de $S$ el conjunto formado por valores propios de la matriz. Ademas tenemos que se puede encontrar $A$ no-negativa ($a_{ij}\geqslant0 \forall {ij}$) tal que $\lambda$ es espectro de $A$. Luego si $x$ es un auto-vector de $A$ correspondiente al auto-valor $1$ con entradas positivas, entonces por definicion de auto-valor tenemos que $(A*x=1*x) \Rightarrow{(A*x=x)}$.
\vspace{1em}
Por otro lado tenemos $D$ tal que $D=diag(x)$ con $x=\begin{pmatrix}
x_{1}& .& .& .& x_{n}
\end{pmatrix}$, entonces \[
D =\begin{bmatrix}
x_{1}& 0& .& .& 0\\
0& .& & & .\\
.& & .& & .\\
.& & & .& 0\\
0& .& .& 0& x_{n}
\end{bmatrix}
\] siendo $D_{n\times n}$ una matriz triangular superior e inferior. Luego $D^{-1}*A*D$ lo ejemplificamos para matriz $2*2$ ya que conserva todas las propiedades para $n*n$ solo que la exigencia es justamente que sea cuadrada.
\newpage
Sea: \[
A =\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21}& a_{22}
\end{pmatrix}, D =\begin{pmatrix}
\psi_{1}& 0\\
0& \psi_{2}
\end{pmatrix}, D^{-1} =\begin{pmatrix}
1/\psi_{1}& 0\\
0& 1/\psi_{2}
\end{pmatrix}
\]
\vspace{1em}
\[
\Rightarrow{D^{-1}*A*D =\begin{pmatrix}
a_{11}& (\psi_{2}/\psi_{1})*a_{12}\\
(\psi_{1}/\psi_{2})*a_{21}& a_{22}
\end{pmatrix}}
\], entonces para que $D^{-1}*A*D$ sea estocastica tenemos que forzar lo siguente:
\[
E1 =\left\{\begin{matrix}
a_{11}+(\psi_{2}/\psi_{1})*a_{12} = 1\\
(\psi_{1}/\psi_{2})*a_{21}+a_{22} = 1
\end{matrix}\right.
\], entonces multiplicamos la fila 1 por $(\psi_{1})$ y la fila 2 por $(\psi_{2})$ luego $E1$ queda:
\[
E1 =\left\{\begin{matrix}
a_{11}*\psi_{1}+a_{12}*\psi_{2} = \psi_{1}\\
a_{21}*\psi_{1}+a_{22}*\psi_{2} = \psi_{2}
\end{matrix}\right.
\], como $A*x=x$ y ademas $x=\begin{pmatrix}
\psi_{1}& \psi_{2}
\end{pmatrix}^t$, entonces:
\[
(A =\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}\\
a_{21}& a_{22}
\end{pmatrix}) * (x =\begin{pmatrix}
\psi_{1}\\
\psi_{2}
\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}
\psi_{1}\\
\psi_{2}
\end{pmatrix}
\]
\vspace{1em}
\[
\Rightarrow {E2 =\left\{\begin{matrix}
a_{11}*\psi_{1}+a_{12}*\psi_{2} = \psi_{1}\\
a_{21}*\psi_{1}+a_{22}*\psi_{2} = \psi_{2}
\end{matrix}\right.}
\]
\vspace{1em}
Luego como $E2$ se cumple por definicion de auto-valor, entonces $E1$ se cumple, por lo que $D^{-1}AD$ es equivalente a $A$, entonces es una matriz estocastica con espectro $\lambda$.
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