From 43f0d4643629dd654ebb999f6f5c3fdbc7564ff9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yijun-lee Date: Sat, 20 Jul 2024 04:17:23 +0900 Subject: [PATCH 1/7] add Discrete-logarithm.md --- content/Basic Algebra/Basic Algebra.md | 1 - content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md | 5 +++++ 2 files changed, 5 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md diff --git a/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md b/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md index 5b357c0..82d75a3 100644 --- a/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md +++ b/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md @@ -24,4 +24,3 @@ - [[Discrete logarithm]] - [[ECDLP]] - [[Ideal]] - diff --git a/content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md b/content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md new file mode 100644 index 0000000..aae5ca8 --- /dev/null +++ b/content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md @@ -0,0 +1,5 @@ +일반적인 로그(Logarithm)란 지수 함수의 역함수, 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑은 몇번 곱하여야 하는지를 나타낸다고 볼 수 있다. 즉, $a^x = b$를 만족하는 $x$를 가리킨다. + +이산 로그는 일반 로그와 같은 형태이지만 군론의 이산적인 대수 구조에서 정의된 연산이다. 이산 로그의 가장 단순한 형태는 $Z_p^*$ 에서 정의하는 것이다. $Z^*_p$의 집합이 $\{1, ..., p-1\}$이고 소수 $p$의 모듈로 곱셈에 대해 닫혀있다고 하자. $Z^*_p$의 어떤 수 $g$와 $y$가 주어졌을 때, $g^x \equiv y \mod p$ 를 만족하는 $x$, 즉, $\log_gy$를 구하는 문제가 이산 로그 문제(Discrete Logarithm Problem)이다. + +위 식에서 소수 $p$가 충분히 클 때 $g$와 $x$로부터 $y$를 구하는 것은 쉽지만, $g$와 $y$로부터 $x$를 구하는 것은 어렵다는 성질이 있다. 이러한 성질을 이용한 암호 시스템이 [Elgamal], [Diffie-Hellman] 등이 있다. \ No newline at end of file From 024766e1e34e45b40e7efd9992ce6f78ff53e720 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yijun-lee Date: Sat, 20 Jul 2024 07:05:54 +0900 Subject: [PATCH 2/7] add Discrete-logarithm.md --- content/Basic Algebra/Binary Operation.md | 5 +++++ content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md | 2 +- content/Basic Algebra/Group.md | 0 content/Basic Algebra/Monoid.md | 0 content/Basic Algebra/Subgroup.md | 0 5 files changed, 6 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 content/Basic Algebra/Binary Operation.md create mode 100644 content/Basic Algebra/Group.md create mode 100644 content/Basic Algebra/Monoid.md create mode 100644 content/Basic Algebra/Subgroup.md diff --git a/content/Basic Algebra/Binary Operation.md b/content/Basic Algebra/Binary Operation.md new file mode 100644 index 0000000..255c402 --- /dev/null +++ b/content/Basic Algebra/Binary Operation.md @@ -0,0 +1,5 @@ +# 정의 +집합 $S$ 위의 binary operation은 $S \times S$ 의 원소들을 $S$ 로 매핑하는 것을 의미한다. 즉, 이는 함수 $f$ : $S \times S$ $\rightarrow$ $S$ 를 의미한다. Binary operation $*$ : $S \times S$ $\rightarrow$ $S$ 가 주어졌을 때, $*(a, b)$를 $a * b$로 표기한다. + +# 예시 +$Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R})$가 2 × 2 실수 행렬의 집합이라고 하자. 이때, 행렬 곱셈 $(A, B) \mapsto AB$는 binary operation이다. \ No newline at end of file diff --git a/content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md b/content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md index aae5ca8..73b23a9 100644 --- a/content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md +++ b/content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md @@ -2,4 +2,4 @@ 이산 로그는 일반 로그와 같은 형태이지만 군론의 이산적인 대수 구조에서 정의된 연산이다. 이산 로그의 가장 단순한 형태는 $Z_p^*$ 에서 정의하는 것이다. $Z^*_p$의 집합이 $\{1, ..., p-1\}$이고 소수 $p$의 모듈로 곱셈에 대해 닫혀있다고 하자. $Z^*_p$의 어떤 수 $g$와 $y$가 주어졌을 때, $g^x \equiv y \mod p$ 를 만족하는 $x$, 즉, $\log_gy$를 구하는 문제가 이산 로그 문제(Discrete Logarithm Problem)이다. -위 식에서 소수 $p$가 충분히 클 때 $g$와 $x$로부터 $y$를 구하는 것은 쉽지만, $g$와 $y$로부터 $x$를 구하는 것은 어렵다는 성질이 있다. 이러한 성질을 이용한 암호 시스템이 [Elgamal], [Diffie-Hellman] 등이 있다. \ No newline at end of file +위 식에서 소수 $p$가 충분히 클 때 $g$와 $x$로부터 $y$를 구하는 것은 쉽지만, $g$와 $y$로부터 $x$를 구하는 것은 어렵다는 성질이 있다. 이러한 성질을 이용한 암호 시스템이 [[ElGamal]], [[Diffie-Hellman]] 등이 있다. \ No newline at end of file diff --git a/content/Basic Algebra/Group.md b/content/Basic Algebra/Group.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/content/Basic Algebra/Monoid.md b/content/Basic Algebra/Monoid.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/content/Basic Algebra/Subgroup.md b/content/Basic Algebra/Subgroup.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29 From 1267a624aad22a4e4d43d8cb65a1d3962f55d7d3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yijun-lee Date: Sat, 20 Jul 2024 07:14:12 +0900 Subject: [PATCH 3/7] add Monoid.md --- content/Basic Algebra/Monoid.md | 12 ++++++++++++ 1 file changed, 12 insertions(+) diff --git a/content/Basic Algebra/Monoid.md b/content/Basic Algebra/Monoid.md index e69de29..ead5aad 100644 --- a/content/Basic Algebra/Monoid.md +++ b/content/Basic Algebra/Monoid.md @@ -0,0 +1,12 @@ +# Monoid의 정의 + +집합 $S$ 위의 [Binary Operation] $*$ : $S \times S \rightarrow S$ 가 주어졌을 때, $S$와 $*$가 다음 조건을 만족하면 $S$와 $*$를 합쳐서 monoid라고 부른다: + +1. $*$는 결합적이다 (associative). + +2. $S$에 항등원 $e \in S$가 존재한다. + +# 예시 +1. $(\mathbb{Z}, \times)$는 Monoid이다. 그러나 [Group]은 아니다. + +2. $(Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \times)$는 Monoid이다. 그러나 [Group]은 아니다. \ No newline at end of file From d4825c8237cf90992dfd6a1a6106b392de43f507 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yijun-lee Date: Sat, 20 Jul 2024 07:15:27 +0900 Subject: [PATCH 4/7] add Group.md --- content/Basic Algebra/Group.md | 11 +++++++++++ 1 file changed, 11 insertions(+) diff --git a/content/Basic Algebra/Group.md b/content/Basic Algebra/Group.md index e69de29..65d4007 100644 --- a/content/Basic Algebra/Group.md +++ b/content/Basic Algebra/Group.md @@ -0,0 +1,11 @@ +# Group의 정의 + +집합 $G$ 위의 [Binary Operation] $*$ : $G \times G \rightarrow G$ 가 주어졌을 때, $G$와 $*$가 다음 조건을 만족하면 $G$와 $*$를 합쳐서 Group이라고 정의한다: + +1. $*$는 결합적이다 (associative). + +2. $G$에 항등원 $e \in G$가 존재한다. + +3. $G$의 각 $a \in G$에 대해, $a$의 역원 $a^{-1}$가 존재한다. +# 예시 +1. $GL_{2}(\mathbb{R})$는 2×2 가역 행렬의 집합으로, 행렬 곱셈과 함께 Group이다. \ No newline at end of file From 78e0356daa6b817c5eff692cdd7cb5e3cf90514d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yijun-lee Date: Sat, 20 Jul 2024 07:16:44 +0900 Subject: [PATCH 5/7] add Abelian-Group.md --- content/Basic Algebra/Abelian Group.md | 5 +++++ content/Basic Algebra/Basic Algebra.md | 1 + 2 files changed, 6 insertions(+) create mode 100644 content/Basic Algebra/Abelian Group.md diff --git a/content/Basic Algebra/Abelian Group.md b/content/Basic Algebra/Abelian Group.md new file mode 100644 index 0000000..1143f30 --- /dev/null +++ b/content/Basic Algebra/Abelian Group.md @@ -0,0 +1,5 @@ +# Abelian Group의 정의 +[Group] $(G, ∗)$가 $*$의 교환법칙을 만족하면, 즉 $*$가 교환적 (commutative)이라면, 이 group을 abelian 또는 commutative group이라고 정의한다. + +# 예시 +1. $(\mathbb{Z}, +)$는 Abelian Group이다. 따라서 [Monoid]이기도 하다. \ No newline at end of file diff --git a/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md b/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md index 82d75a3..3f99eba 100644 --- a/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md +++ b/content/Basic Algebra/Basic Algebra.md @@ -24,3 +24,4 @@ - [[Discrete logarithm]] - [[ECDLP]] - [[Ideal]] +- [[Abelian Group]] From cfcb09d3de87d29dc4eed88c78b0f63153991911 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yijun-lee Date: Sat, 20 Jul 2024 07:18:34 +0900 Subject: [PATCH 6/7] add Subgroup.md --- content/Basic Algebra/Subgroup.md | 6 ++++++ 1 file changed, 6 insertions(+) diff --git a/content/Basic Algebra/Subgroup.md b/content/Basic Algebra/Subgroup.md index e69de29..283a740 100644 --- a/content/Basic Algebra/Subgroup.md +++ b/content/Basic Algebra/Subgroup.md @@ -0,0 +1,6 @@ +# 정의 +[Group] $(G, ∗)$와 $G$의 부분집합 $H$가 주어졌을 때, $H$가 연산 $∗|_{H×H}$에 대해 Group을 형성하면, $H$를 $G$의 Subgroup이라고 한다. $H$가 $G$의 Subgroup임을 나타내기 위해 $H \le G$라고 쓴다. + +# 예시 +1. 주어진 $n \in \mathbb{Z}_{>0}$에 대해, $(n) := \{nx | x \in \mathbb{Z}\}$는 $(\mathbb{Z}, +)$의 Subgroup이다. +2. $SL_{2}(\mathbb{R}) := \{A \in Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R}) | \det(A) = 1\}$는 $(GL_{2}(\mathbb{R}), \times)$의 Subgroup이다. \ No newline at end of file From 35f5ab32e198569adfbced199280dfd0e7a4a44f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yijun-lee Date: Sat, 20 Jul 2024 07:25:24 +0900 Subject: [PATCH 7/7] fix typos --- content/Basic Algebra/Abelian Group.md | 4 ++-- content/Basic Algebra/Group.md | 2 +- content/Basic Algebra/Monoid.md | 4 ++-- content/Basic Algebra/Subgroup.md | 2 +- 4 files changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/content/Basic Algebra/Abelian Group.md b/content/Basic Algebra/Abelian Group.md index 1143f30..904c2ef 100644 --- a/content/Basic Algebra/Abelian Group.md +++ b/content/Basic Algebra/Abelian Group.md @@ -1,5 +1,5 @@ # Abelian Group의 정의 -[Group] $(G, ∗)$가 $*$의 교환법칙을 만족하면, 즉 $*$가 교환적 (commutative)이라면, 이 group을 abelian 또는 commutative group이라고 정의한다. +[[Group]] $(G, ∗)$가 $*$의 교환법칙을 만족하면, 즉 $*$가 교환적 (commutative)이라면, 이 group을 abelian 또는 commutative group이라고 정의한다. # 예시 -1. $(\mathbb{Z}, +)$는 Abelian Group이다. 따라서 [Monoid]이기도 하다. \ No newline at end of file +1. $(\mathbb{Z}, +)$는 Abelian Group이다. 따라서 [[Monoid]]이기도 하다. \ No newline at end of file diff --git a/content/Basic Algebra/Group.md b/content/Basic Algebra/Group.md index 65d4007..a600637 100644 --- a/content/Basic Algebra/Group.md +++ b/content/Basic Algebra/Group.md @@ -1,6 +1,6 @@ # Group의 정의 -집합 $G$ 위의 [Binary Operation] $*$ : $G \times G \rightarrow G$ 가 주어졌을 때, $G$와 $*$가 다음 조건을 만족하면 $G$와 $*$를 합쳐서 Group이라고 정의한다: +집합 $G$ 위의 [[Binary Operation]] $*$ : $G \times G \rightarrow G$ 가 주어졌을 때, $G$와 $*$가 다음 조건을 만족하면 $G$와 $*$를 합쳐서 Group이라고 정의한다: 1. $*$는 결합적이다 (associative). diff --git a/content/Basic Algebra/Monoid.md b/content/Basic Algebra/Monoid.md index ead5aad..0b63a95 100644 --- a/content/Basic Algebra/Monoid.md +++ b/content/Basic Algebra/Monoid.md @@ -7,6 +7,6 @@ 2. $S$에 항등원 $e \in S$가 존재한다. # 예시 -1. $(\mathbb{Z}, \times)$는 Monoid이다. 그러나 [Group]은 아니다. +1. $(\mathbb{Z}, \times)$는 Monoid이다. 그러나 [[Group]]은 아니다. -2. $(Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \times)$는 Monoid이다. 그러나 [Group]은 아니다. \ No newline at end of file +2. $(Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \times)$는 Monoid이다. 그러나 [[Group]]은 아니다. \ No newline at end of file diff --git a/content/Basic Algebra/Subgroup.md b/content/Basic Algebra/Subgroup.md index 283a740..d1222f0 100644 --- a/content/Basic Algebra/Subgroup.md +++ b/content/Basic Algebra/Subgroup.md @@ -1,5 +1,5 @@ # 정의 -[Group] $(G, ∗)$와 $G$의 부분집합 $H$가 주어졌을 때, $H$가 연산 $∗|_{H×H}$에 대해 Group을 형성하면, $H$를 $G$의 Subgroup이라고 한다. $H$가 $G$의 Subgroup임을 나타내기 위해 $H \le G$라고 쓴다. +[[Group]] $(G, ∗)$와 $G$의 부분집합 $H$가 주어졌을 때, $H$가 연산 $∗|_{H×H}$에 대해 Group을 형성하면, $H$를 $G$의 Subgroup이라고 한다. $H$가 $G$의 Subgroup임을 나타내기 위해 $H \le G$라고 쓴다. # 예시 1. 주어진 $n \in \mathbb{Z}_{>0}$에 대해, $(n) := \{nx | x \in \mathbb{Z}\}$는 $(\mathbb{Z}, +)$의 Subgroup이다.