mengen.tex

\section{Mengen}\index{Menge}

\subsection{Definitionen}\label{sec:mengen-def}
{\footnotesize
\begin{tabular}{|l|l|l|}\hline
	\textbf{Name} & \textbf{Mengensymbol} & \textbf{Definition} \\ \hline
	\textbf{Teilmenge:} & $A \subseteq B$ & $\forall x: x \in A \rightarrow x \in B$ \\
	\textbf{Vereinigung:} & $A \cup B$ & $ \{x \,|\, x \in A \lor x \in B\}$ \\
	\textbf{Durchschnitt:} & $A \cap B$ & $ \{x \,|\, x \in A \land x \in B\}$ \\
	\textbf{Differenz:} & $A \backslash B = A - B $ & $ \{x \,|\, x \in A \land x \not\in B\}$ \\
	\textbf{Komplement:} & $A^c = \overline{A} $ & $ \{x \,|\, x \not\in A\}$ \\
	\hline
\end{tabular}
}

\subsection{Rechenregeln}
{\footnotesize
\begin{tabular}{|l|r|}\hline
$A \cup B = B \cup A$ & $A \cap B = B \cap A$\\
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ & $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$\\
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ & $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$\\
$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ & $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$\\
$(A \backslash B) \cup C = (A \cup C) \cap (B^c \cup C)$ & $(A \backslash B) \cap C = A \backslash )(B \cup C^c)$\\
$(A \backslash B) \backslash C = A \backslash (B \cup C)$ & $A \backslash B = A \cap B^c$\\\hline
\end{tabular}
}

\subsection{Beweise}
Um Mengengleichungen zu beweisen überführt man üblicherweise eine Seite in eine Form,
die nur noch aus logischen Operatoren besteht ($\land, \lor, \in, \not\in$) und formt
dann so um, dass man zur gewünschten anderen Seite kommt durch Rückführung in eine
Form mit Mengenoperatoren. Dazu verwendet man am einfachsten die Definitionen in Sektion \ref{sec:mengen-def}.

\subsection*{Beispiel}
Zeige: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ wobei $A, B$ Untermengen von $X$ sind.
\begin{align*}
(A \cup B)^c &= \{x \in X: x \not\in (A \cup B)\} = \{x \in X: x \not\in A \land x \not\in B\}\\
&= \{x \in X: x \not\in A\} \cap \{x \in X: x \not\in B\} = A^c \cap B^c
\end{align*}

\subsection{bekannte Mengen}
\begin{description}
	\item[$\N$, natürliche Zahlen:] $\{1, 2, 3, \ldots\}$
	\item[$\Z$, ganze Zahlen:] $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$
	\item[$\Q$, rationale Zahlen:] $\{\frac{p}{q} | p \in \Z, q \in \N \backslash \{0\}\}$
	\item[$\R$, reelle Zahlen:] rationale und irrationalen Zahlen.
\end{description}

\subsection{Mächtigkeit}\index{Mächtigkeit}
Eine Menge $A$ ist gleichmächtig zu einer Menge $B$, wenn es eine \textit{Bijektion}
$f: A \rightarrow B$ gibt. Man schreibt dann $|A| = |B|$.

Hat man zwischen zwei Mengen eine Funktion $f: A \rightarrow B$ gefunden, die bijektiv ist,
so gibt es eine Umkehrfunktion, die ebenfalls Bijektiv ist. Diese bildet jedes Element von $B$
auf eines aus $A$ ab.

\subsubsection{Abzählbar}\index{abzählbar}
Eine Menge $A$ ist abzählbar, wenn sie gleichmächtig zur Menge $\N$ (natürliche Zahlen) ist.

\subsubsection{Gleichmächtigkeit zeigen}
Zeigt man durch angeben einer bijektiven Funktion.

\textbf{Beispiel:}
Zeige: $U := \{ 2k + 1: k \in \N \}$ ist gleichmächtig zu $\N$.

\textbf{Beweis}: Sei $f: \N \rightarrow U$ gegeben durch
\begin{equation*}
f(n) = \left\{
	\begin{array}{l l}
		n & n \text{ ungerade}\\
		-n - 1 & n \text{ gerade}
	\end{array}
\right.
\end{equation*}

Diese Funktion ist offensichtlich bijektiv (sonst Umkehrfunktion angeben), wodurch $U$ gleichmächtig $\N$ ist.

\subsubsection{weitere gleichmächtige Mengen}
\begin{itemize}
	\item $\N, \Z, \Q$ sind gleichmächtig
	\item $\R, ]0,1[$ sind gleichmächtig
	\item $\R$ ist mächtiger (``überabzählbar'') als $\N$
\end{itemize}

\subsection{Teilmengen von $\R$}
\subsubsection{Intervalle}\index{Intervall}
\begin{tabular}{|l|l|l|}\hline
Schreibweise & Definition & Bezeichnung des Intervalls\\\hline
$]a, b[, (a,b)$ & $\{x \in \R | a < x < b\}$ & offen\\\hline
$[a, b[, [a, b)$ & $\{x \in \R | a \leq x < b\}$ & (rechts) halboffen \\\hline
$]a,b], (a, b]$ & $\{x \in \R | a < x \leq b\}$ & (links) halboffen \\\hline
$[a,b]$ & $\{x \in \R | a \leq x \leq b\}$ & abgeschlossen \\\hline
\end{tabular}

Achtung: Ist $a$ oder $b$ ``unendlich'' ($\pm \infty$), so muss es auf der entsprechenden Seite offen sein: z.B. $[a, $\hl{$\infty[$}, \hl{$]-\infty$}$, b[$.
Unendlich ist keine konkrete Zahl und kann somit nicht gleich einer anderen Zahl sein, was nötig wäre für $\leq$.
\pagebreak

\begin{description}
	\item [Abgeschlossene Menge:] Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement eine offene Menge ist. Bsp. Alle abgeschlossenen Intervalle (z.B: $[0, 1]$ da $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$)

	\item [Offene Menge:] Anschaulich ist eine Menge offen, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt. Bsp. Alle offenen Intervale (z.B: $(0, 1)$ da $0,1 \notin (0, 1)$)

	\item [Kompakte Menge:] Eine Menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist! Bsp. Alle abgeschlossenen Intervalle (z.B: $[0, 1]$ da abgeschlossen und beschränkt)
\end{description}
Merke: Halboffene Mengen sind weder offen noch abgeschlossen.

\subsubsection{Beschränktheit}\index{beschränkt}
Eine nichtleere Teilmenge $M \subset \R$ heisst \underline{beschränkt}, falls es ein $C_1, C_2 \in \R$ gibt, sodass 
$\forall x \in M: C_1 \leq x \leq C_2$\\
(Alternativ: $\exists C \in \R \; \forall x \in M: |x| \leq C$)

\vspace{2pt}Eine nichtleere Teilmenge $M \subset \R$ heisst \underline{nach oben beschränkt}, falls 
$\exists C \in \R \; \forall x \in M: x \leq C$ \hspace{2pt} {\scriptsize(jedes derartige C heisst obere Schranke)}

\vspace{2pt}Eine nichtleere Teilmenge $M \subset \R$ heisst \underline{nach unten beschränkt}, falls 
$\exists C \in \R \; \forall x \in M: C \leq x$ \hspace{2pt} {\scriptsize(jedes derartige C heisst untere Schranke)}

\subsubsection{Supremum / Infimum}\index{Supremum}\index{Infimum}\index{Schranke}
Jede nach oben beschränkte Menge $M \subset \R$ besitzt eine kleinste obere Schranke $c = \sup \, M$ und nennt es \underline{Supremum von M}.

Jede nach unten beschränkte Menge $M \subset \R$ besitzt eine grösste untere Schranke $\tilde{c} = \inf \, M$ und nennt es \underline{Infimum von M}.


Falls die Menge $M$ ein grösstes (bzw. kleinstes) Element besitzt, so nennt man es \underline{Maximum} (bzw. \underline{Minimum}).
Es gilt:
\begin{itemize}
	\item Ist $M \subset \R$ abgeschlossen und beschränkt, so existieren Minimum und Maximum von $M$
	\item Wenn $\max M$ existiert, dann ist $\sup M = \max M$
	\item Ist $\sup M \in M$, so ist $\max M = \sup M$
	\item Wenn $\min M$ existiert, dann ist $\inf M = \min M$
	\item Ist $\inf M \in M$, so ist $\min M = \inf M$
\end{itemize}

\paragraph{mathematische Definition}
$\sup M = a$ gilt genau dann, wenn
\begin{itemize}
	\item $\forall x \in M: x \leq a$, $a$ ist somit obere Schranke von $M$
	\item $\forall \epsilon > 0 \; \exists x \in M: x > a - \epsilon$, d.h. $a - \epsilon$ ist keine obere Schranke mehr, egal wie klein man $\epsilon$ auch wählt $\rightarrow$ $a$ ist kleinste obere Schranke.
\end{itemize}

$\inf M = a$ gilt genau dann, wenn
\begin{itemize}
	\item $\forall x \in M: x \geq a$, $a$ ist somit untere Schranke von $M$
	\item $\forall \epsilon > 0 \; \exists x \in M: x < a + \epsilon$, d.h. $a + \epsilon$ ist keine untere Schranke mehr, egal wie klein man $\epsilon$ auch wählt $\rightarrow$ $a$ ist grösste untere Schranke.
\end{itemize}

\subsubsection{Maximum / Minimum} \index{Maximum / Minimum}
\begin{satz}[Extremwertsatz - Weierstrass] Ist f eine stetige Funktion und ist der Definitionsbereich kompakt (Bsp. abgeschlossenes Intervall), so hat die Funktion ein Max. und Min.
\end{satz}
{\small
\textbf{Tip:} 
\begin{itemize}
	\item Wenn Max/Min bestummen werden soll, prüfe zuerst ob f ein Max/Min besitzt. Dies ist der Fall, wenn $f$ stetig ist auf ganzem Definitionsberech (beachte Übergang bei Fallunterscheidungen) \underline{und} wenn der Definitionsbereich kompakt ist!

	\item Um Max/Min zu bestimmen prüfe Punkte im innern von f ($f'(x) \overset{!}{=} 0$) und zusätzlich auf dem Rand von f ($a \, \& \, b$ bei $[a, b]$).
\end{itemize}}

\subsubsection{Archimedisches Prinzip}\index{archimedisches Prinzip}
\begin{satz}[Archimedisches Prinzip]
Zu den zwei Zahlen $x, y \in \R, \; y > x > 0$ existiert eine Zahl $n \in \N$, sd gilt: $nx > y$
\end{satz}
%\vspace{-0.1cm}
%Geometrisch: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die grössere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt.
\pagebreak