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逻辑回归（Logistic Regression，LR）也称为"对数几率回归"，又称为"逻辑斯谛"回归。
知识点提炼
- 分类，经典的二分类算法！
- 逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏。
- Logistic 回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别）
- 回归模型中，y 是一个定性变量，比如 y = 0 或 1，logistic 方法主要应用于研究某些事件发生的概率。
- 逻辑回归的本质：极大似然估计
- 逻辑回归的激活函数：Sigmoid
- 逻辑回归的代价函数：交叉熵
逻辑回归的优缺点
优点：
1）速度快，适合二分类问题
2）简单易于理解，直接看到各个特征的权重
3）能容易地更新模型吸收新的数据
缺点：
对数据和场景的适应能力有局限性，不如决策树算法适应性那么强
逻辑回归中最核心的概念是 Sigmoid 函数，Sigmoid函数可以看成逻辑回归的激活函数。
下图是逻辑回归网络：
对数几率函数（Sigmoid）：$y = \sigma (z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$
通过对数几率函数的作用，我们可以将输出的值限制在区间[0，1]上，p(x) 则可以用来表示概率 p(y=1|x)，即当一个x发生时，y被分到1那一组的概率。可是，等等，我们上面说 y 只有两种取值，但是这里却出现了一个区间[0, 1]，这是什么鬼？？其实在真实情况下，我们最终得到的y的值是在 [0, 1] 这个区间上的一个数，然后我们可以选择一个阈值，通常是 0.5，当 y > 0.5 时，就将这个 x 归到 1 这一类，如果 y< 0.5 就将 x 归到 0 这一类。但是阈值是可以调整的，比如说一个比较保守的人，可能将阈值设为 0.9，也就是说有超过90%的把握，才相信这个x属于 1这一类。了解一个算法，最好的办法就是自己从头实现一次。下面是逻辑回归的具体实现。
Regression 常规步骤
- 寻找h函数（即预测函数）
- 构造J函数（损失函数）
- 想办法（迭代）使得J函数最小并求得回归参数（θ）
函数h(x)的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，于是可以看成类1的后验估计。因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：
P(y=1│x;θ)=hθ (x)
P(y=0│x;θ)=1-hθ (x)
代价函数
逻辑回归一般使用交叉熵作为代价函数。关于代价函数的具体细节，请参考代价函数。
交叉熵是对「出乎意料」（译者注：原文使用suprise）的度量。神经元的目标是去计算函数 y, 且 y = y(x)。但是我们让它取而代之计算函数 a, 且 a = a(x) 。假设我们把 a 当作 y 等于 1 的概率，1−a 是 y 等于 0 的概率。那么，交叉熵衡量的是我们在知道 y 的真实值时的平均「出乎意料」程度。当输出是我们期望的值，我们的「出乎意料」程度比较低；当输出不是我们期望的，我们的「出乎意料」程度就比较高。
交叉熵代价函数如下所示：
注：为什么要使用交叉熵函数作为代价函数，而不是平方误差函数？请参考：逻辑回归算法之交叉熵函数理解
逻辑回归伪代码
初始化线性函数参数为1
构造sigmoid函数
重复循环I次
计算数据集梯度
更新线性函数参数
确定最终的sigmoid函数
输入训练（测试）数据集
运用最终sigmoid函数求解分类
逻辑回归算法之Python实现
- TODO
参考资料
- Logistic Regression
- 《统计学习方法》 (蓝书) 第6章 P77页
- 《机器学习》 (西瓜书) 第3章 P57页
- 《Machine Learning》 吴恩达 Logistic Regression
- 逻辑回归 - 理论篇
- 逻辑回归(logistic regression)的本质——极大似然估计
- 机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）
- 机器学习之Logistic回归与Python实现
- 【机器学习】逻辑回归（Logistic Regression）
- 机器学习算法--逻辑回归原理介绍
- 逻辑回归算法面经
1.广义模型推导所得 2.满足统计的最大熵模型 3.性质优秀，方便使用（Sigmoid函数是平滑的，而且任意阶可导，一阶二阶导数可以直接由函数值得到不用进行求导，这在实现中很实用）
参考资料
支持向量机（supporr vector machine，SVM）是一种二类分类模型，该模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。间隔最大使它有区别于感知机；支持向量机还包括核技巧，这使它成为实质上的非线性分类器。支持向量机的学习策略就是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划的最小化问题。
知识点提炼：
- SVM核函数
- 多项式核函数
- 高斯核函数
- 字符串核函数
- SMO
- SVM损失函数
支持向量机的学习算法是求解凸二次规划的最优化算法。
支持向量机学习方法包含构建由简至繁的模型：
- 线性可分支持向量机
- 线性支持向量机
- 非线性支持向量机（使用核函数）
当训练数据线性可分时，通过硬间隔最大化（hard margin maximization）学习一个线性的分类器，即线性可分支持向量机，又成为硬间隔支持向量机；
当训练数据近似线性可分时，通过软间隔最大化（soft margin maximization）也学习一个线性的分类器，即线性支持向量机，又称为软间隔支持向量机；
当训练数据不可分时，通过核技巧（kernel trick）及软间隔最大化，学习非线性支持向量机。
注：以上各SVM的数学推导应该熟悉：硬间隔最大化（几何间隔）---学习的对偶问题---软间隔最大化（引入松弛变量）---非线性支持向量机（核技巧）。
SVM的主要特点
（1）非线性映射-理论基础
（2）最大化分类边界-方法核心
（3）支持向量-计算结果
（4）小样本学习方法
（5）最终的决策函数只有少量支持向量决定，避免了“维数灾难”
（6）少数支持向量决定最终结果—->可“剔除”大量冗余样本+算法简单+具有鲁棒性（体现在3个方面）
（7）学习问题可表示为凸优化问题—->全局最小值
（8）可自动通过最大化边界控制模型，但需要用户指定核函数类型和引入松弛变量
（9）适合于小样本，优秀泛化能力（因为结构风险最小）
（10）泛化错误率低，分类速度快，结果易解释
SVM为什么采用间隔最大化？
当训练数据线性可分时，存在无穷个分离超平面可以将两类数据正确分开。
感知机利用误分类最小策略，求得分离超平面，不过此时的解有无穷多个。
线性可分支持向量机利用间隔最大化求得最优分离超平面，这时，解是唯一的。另一方面，此时的分隔超平面所产生的分类结果是最鲁棒的，对未知实例的泛化能力最强。
然后应该借此阐述，几何间隔，函数间隔，及从函数间隔—>求解最小化1/2 ||w||^2 时的w和b。即线性可分支持向量机学习算法—最大间隔法的由来。
为什么要将求解SVM的原始问题转换为其对偶问题？
- 对偶问题往往更易求解（当我们寻找约束存在时的最优点的时候，约束的存在虽然减小了需要搜寻的范围，但是却使问题变得更加复杂。为了使问题变得易于处理，我们的方法是把目标函数和约束全部融入一个新的函数，即拉格朗日函数，再通过这个函数来寻找最优点。）
- 自然引入核函数，进而推广到非线性分类问题
为什么SVM要引入核函数？
当样本在原始空间线性不可分时，可将样本从原始空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个特征空间内线性可分。
SVM核函数有哪些？
- 线性（Linear）核函数：主要用于线性可分的情形。参数少，速度快。
- 多项式核函数
- 高斯（RBF）核函数：主要用于线性不可分的情形。参数多，分类结果非常依赖于参数。
- Sigmoid核函数
- 拉普拉斯（Laplac）核函数
注：如果feature数量很大，跟样本数量差不多，建议使用LR或者Linear kernel的SVM。如果feature数量较少，样本数量一般，建议使用Gaussian Kernel的SVM。
SVM如何处理多分类问题？
一般有两种做法：
-
直接法：直接在目标函数上修改，将多个分类面的参数求解合并到一个最优化问题里面。看似简单但是计算量却非常的大。
-
间接法：对训练器进行组合。其中比较典型的有一对一，和一对多。
- 一对多：对每个类都训练出一个分类器，由svm是二分类，所以将此而分类器的两类设定为目标类为一类，其余类为另外一类。这样针对k个类可以训练出k个分类器，当有一个新的样本来的时候，用这k个分类器来测试，那个分类器的概率高，那么这个样本就属于哪一类。这种方法效果不太好，bias比较高。
- 一对一：针对任意两个类训练出一个分类器，如果有k类，一共训练出C(2,k) 个分类器，这样当有一个新的样本要来的时候，用这C(2,k) 个分类器来测试，每当被判定属于某一类的时候，该类就加一，最后票数最多的类别被认定为该样本的类。
SVM中硬间隔和软间隔
硬间隔分类即线性可分支持向量机，软间隔分类即线性不可分支持向量机，利用软间隔分类时是因为存在一些训练集样本不满足函数间隔（泛函间隔）大于等于1的条件，于是加入一个非负的参数 ζ （松弛变量），让得出的函数间隔加上 ζ 满足条件。于是软间隔分类法对应的拉格朗日方程对比于硬间隔分类法的方程就多了两个参数（一个ζ ，一个 β），但是当我们求出对偶问题的方程时惊奇的发现这两种情况下的方程是一致的。下面我说下自己对这个问题的理解。
我们可以先考虑软间隔分类法为什么会加入ζ 这个参数呢？硬间隔的分类法其结果容易受少数点的控制，这是很危险的，由于一定要满足函数间隔大于等于1的条件，而存在的少数离群点会让算法无法得到最优解，于是引入松弛变量，从字面就可以看出这个变量是为了缓和判定条件，所以当存在一些离群点时我们只要对应给他一个ζi，就可以在不变更最优分类超平面的情况下让这个离群点满足分类条件。
综上，我们可以看出来软间隔分类法加入ζ 参数，使得最优分类超平面不会受到离群点的影响，不会向离群点靠近或远离，相当于我们去求解排除了离群点之后，样本点已经线性可分的情况下的硬间隔分类问题，所以两者的对偶问题是一致的。
参考资料
- Support-vector machine
- 支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）
- 数据挖掘（机器学习）面试--SVM面试常考问题
- 机器学习实战教程（八）：支持向量机原理篇之手撕线性SVM
- 支持向量机（SVM）入门理解与推导
- 数据挖掘领域十大经典算法之—SVM算法（超详细附代码）
- TODO
相同点
第一，LR和SVM都是分类算法。
看到这里很多人就不会认同了，因为在很大一部分人眼里，LR是回归算法。我是非常不赞同这一点的，因为我认为判断一个算法是分类还是回归算法的唯一标准就是样本label的类型，如果label是离散的，就是分类算法，如果label是连续的，就是回归算法。很明显，LR的训练数据的label是“0或者1”，当然是分类算法。其实这样不重要啦，暂且迁就我认为它是分类算法吧，再说了，SVM也可以回归用呢。
第二，如果不考虑核函数，LR和SVM都是线性分类算法，也就是说他们的分类决策面都是线性的。
这里要先说明一点，那就是LR也是可以用核函数的，至于为什么通常在SVM中运用核函数而不在LR中运用，后面讲到他们之间区别的时候会重点分析。总之，原始的LR和SVM都是线性分类器，这也是为什么通常没人问你决策树和LR什么区别，决策树和SVM什么区别，你说一个非线性分类器和一个线性分类器有什么区别？
第三，LR和SVM都是监督学习算法。
这个就不赘述什么是监督学习，什么是半监督学习，什么是非监督学习了。
第四，LR和SVM都是判别模型。
判别模型会生成一个表示P(Y|X)的判别函数（或预测模型），而生成模型先计算联合概率p(Y,X)然后通过贝叶斯公式转化为条件概率。简单来说，在计算判别模型时，不会计算联合概率，而在计算生成模型时，必须先计算联合概率。或者这样理解：生成算法尝试去找到底这个数据是怎么生成的（产生的），然后再对一个信号进行分类。基于你的生成假设，那么那个类别最有可能产生这个信号，这个信号就属于那个类别。判别模型不关心数据是怎么生成的，它只关心信号之间的差别，然后用差别来简单对给定的一个信号进行分类。常见的判别模型有：KNN、SVM、LR，常见的生成模型有：朴素贝叶斯，隐马尔可夫模型。当然，这也是为什么很少有人问你朴素贝叶斯和LR以及朴素贝叶斯和SVM有什么区别（哈哈，废话是不是太多）。
不同点
第一，本质上是其损失函数（loss function）不同。
注：lr的损失函数是 cross entropy loss， adaboost的损失函数是 expotional loss ,svm是hinge loss，常见的回归模型通常用 均方误差 loss。
逻辑回归的损失函数
SVM的目标函数
不同的loss function代表了不同的假设前提，也就代表了不同的分类原理，也就代表了一切！！！简单来说，逻辑回归方法基于概率理论，假设样本为1的概率可以用sigmoid函数来表示，然后通过极大似然估计的方法估计出参数的值，具体细节参考逻辑回归。支持向量机基于几何间隔最大化原理，认为存在最大几何间隔的分类面为最优分类面，具体细节参考支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）
第二，支持向量机只考虑局部的边界线附近的点，而逻辑回归考虑全局（远离的点对边界线的确定也起作用）。
当你读完上面两个网址的内容，深入了解了LR和SVM的原理过后，会发现影响SVM决策面的样本点只有少数的结构支持向量，当在支持向量外添加或减少任何样本点对分类决策面没有任何影响；而在LR中，每个样本点都会影响决策面的结果。用下图进行说明：
支持向量机改变非支持向量样本并不会引起决策面的变化
逻辑回归中改变任何样本都会引起决策面的变化
理解了这一点，有可能你会问，然后呢？有什么用呢？有什么意义吗？对使用两种算法有什么帮助么？一句话回答：
因为上面的原因，得知：线性SVM不直接依赖于数据分布，分类平面不受一类点影响；LR则受所有数据点的影响，如果数据不同类别strongly unbalance，一般需要先对数据做balancing。（引自http://www.zhihu.com/question/26768865/answer/34078149）
第三，在解决非线性问题时，支持向量机采用核函数的机制，而LR通常不采用核函数的方法。
这个问题理解起来非常简单。分类模型的结果就是计算决策面，模型训练的过程就是决策面的计算过程。通过上面的第二点不同点可以了解，在计算决策面时，SVM算法里只有少数几个代表支持向量的样本参与了计算，也就是只有少数几个样本需要参与核计算（即kernal machine解的系数是稀疏的）。然而，LR算法里，每个样本点都必须参与决策面的计算过程，也就是说，假设我们在LR里也运用核函数的原理，那么每个样本点都必须参与核计算，这带来的计算复杂度是相当高的。所以，在具体应用时，LR很少运用核函数机制。
第四，线性SVM依赖数据表达的距离测度，所以需要对数据先做normalization，LR不受其影响。（引自http://www.zhihu.com/question/26768865/answer/34078149）
一个机遇概率，一个机遇距离！
第五，SVM的损失函数就自带正则！！！（损失函数中的1/2||w||^2项），这就是为什么SVM是结构风险最小化算法的原因！！！而LR必须另外在损失函数上添加正则项！！！
以前一直不理解为什么SVM叫做结构风险最小化算法，所谓结构风险最小化，意思就是在训练误差和模型复杂度之间寻求平衡，防止过拟合，从而达到真实误差的最小化。未达到结构风险最小化的目的，最常用的方法就是添加正则项，后面的博客我会具体分析各种正则因子的不同，这里就不扯远了。但是，你发现没，SVM的目标函数里居然自带正则项！！！再看一下上面提到过的SVM目标函数：
SVM目标函数
有木有，那不就是L2正则项吗？
不用多说了，如果不明白看看L1正则与L2正则吧，参考http://www.mamicode.com/info-detail-517504.html
http://www.zhihu.com/question/26768865/answer/34078149
快速理解LR和SVM的区别
两种方法都是常见的分类算法，从目标函数来看，区别在于逻辑回归采用的是logistical loss，svm采用的是hinge loss。这两个损失函数的目的都是增加对分类影响较大的数据点的权重，减少与分类关系较小的数据点的权重。SVM的处理方法是只考虑support vectors，也就是和分类最相关的少数点，去学习分类器。而逻辑回归通过非线性映射，大大减小了离分类平面较远的点的权重，相对提升了与分类最相关的数据点的权重。两者的根本目的都是一样的。此外，根据需要，两个方法都可以增加不同的正则化项，如l1,l2等等。所以在很多实验中，两种算法的结果是很接近的。但是逻辑回归相对来说模型更简单，好理解，实现起来，特别是大规模线性分类时比较方便。而SVM的理解和优化相对来说复杂一些。但是SVM的理论基础更加牢固，有一套结构化风险最小化的理论基础，虽然一般使用的人不太会去关注。还有很重要的一点，SVM转化为对偶问题后，分类只需要计算与少数几个支持向量的距离，这个在进行复杂核函数计算时优势很明显，能够大大简化模型和计算量。
SVM与LR的区别与联系
联系：（1）分类（二分类） （2）可加入正则化项
区别：（1）LR–参数模型；SVM–非参数模型？（2）目标函数：LR—logistical loss；SVM–hinge loss （3）SVM–support vectors；LR–减少较远点的权重 （4）LR–模型简单，好理解，精度低，可能局部最优；SVM–理解、优化复杂，精度高，全局最优，转化为对偶问题—>简化模型和计算 （5）LR可以做的SVM可以做（线性可分），SVM能做的LR不一定能做（线性不可分）
总结一下
- Linear SVM和LR都是线性分类器
- Linear SVM不直接依赖数据分布，分类平面不受一类点影响；LR则受所有数据点的影响，如果数据不同类别strongly unbalance，一般需要对数据先做balancing。
- Linear SVM依赖数据表打对距离测度，所以需要对数据先做normalization；LR不受影响
- Linear SVM依赖penalty的系数，实验中需要做validation
- Linear SVM的LR的performance都会收到outlier的影响，就敏感程度而言，无法给出明确结论。
参考资料
下面关于GBDT的理解来自论文greedy function approximation: a gradient boosting machine
- 损失函数的数值优化可以看成是在函数空间，而不是在参数空间。
- 损失函数L(y,F)包含平方损失(y−F)2，绝对值损失|y−F|用于回归问题，负二项对数似然log(1+e−2yF),y∈{-1,1}用于分类。
- 关注点是预测函数的加性扩展。
最关键的点在于损失函数的数值优化可以看成是在函数空间而不是参数空间。
GBDT对分类问题基学习器是二叉分类树，对回归问题基学习器是二叉决策树。
参考资料
Adaboost算法基本原理就是将多个弱分类器（弱分类器一般选用单层决策树）进行合理的结合，使其成为一个强分类器。
Adaboost采用迭代的思想，每次迭代只训练一个弱分类器，训练好的弱分类器将参与下一次迭代的使用。也就是说，在第N次迭代中，一共就有N个弱分类器，其中N-1个是以前训练好的，其各种参数都不再改变，本次训练第N个分类器。其中弱分类器的关系是第N个弱分类器更可能分对前N-1个弱分类器没分对的数据，最终分类输出要看这N个分类器的综合效果。
参考资料
XGBoost全名叫（eXtreme Gradient Boosting）极端梯度提升，经常被用在一些比赛中，其效果显著。它是大规模并行boosted tree的工具，它是目前最快最好的开源boosted tree工具包。下面我们将XGBoost的学习分为3步：
① 集成思想
② 损失函数分析
③ 求解
我们知道机器学习三要素：模型、策略、算法。对于集成思想的介绍，XGBoost算法本身就是以集成思想为基础的。所以理解清楚集成学习方法对XGBoost是必要的，它能让我们更好的理解其预测函数模型。在第二部分，我们将详细分析损失函数，这就是我们将要介绍策略。第三部分，对于目标损失函数求解，也就是算法了。
参考资料
1、KNN算法概述
kNN算法的核心思想是如果一个样本在特征空间中的k个最相邻的样本中的大多数属于某一个类别，则该样本也属于这个类别，并具有这个类别上样本的特性。该方法在确定分类决策上只依据最邻近的一个或者几个样本的类别来决定待分样本所属的类别。 2、KNN算法介绍
最简单最初级的分类器是将全部的训练数据所对应的类别都记录下来，当测试对象的属性和某个训练对象的属性完全匹配时，便可以对其进行分类。但是怎么可能所有测试对象都会找到与之完全匹配的训练对象呢，其次就是存在一个测试对象同时与多个训练对象匹配，导致一个训练对象被分到了多个类的问题，基于这些问题呢，就产生了KNN。
KNN是通过测量不同特征值之间的距离进行分类。它的的思路是：如果一个样本在特征空间中的k个最相似(即特征空间中最邻近)的样本中的大多数属于某一个类别，则该样本也属于这个类别。K通常是不大于20的整数。KNN算法中，所选择的邻居都是已经正确分类的对象。该方法在定类决策上只依据最邻近的一个或者几个样本的类别来决定待分样本所属的类别。
下面通过一个简单的例子说明一下：如下图，绿色圆要被决定赋予哪个类，是红色三角形还是蓝色四方形？如果K=3，由于红色三角形所占比例为2/3，绿色圆将被赋予红色三角形那个类，如果K=5，由于蓝色四方形比例为3/5，因此绿色圆被赋予蓝色四方形类。
1）计算测试数据与各个训练数据之间的距离；
2）按照距离的递增关系进行排序；
3）选取距离最小的K个点；
4）确定前K个点所在类别的出现频率；
5）返回前K个点中出现频率最高的类别作为测试数据的预测分类。
参考资料
算法思想：
选择K个点作为初始质心
repeat
将每个点指派到最近的质心，形成K个簇
重新计算每个簇的质心
until 簇不发生变化或达到最大迭代次数
这里的重新计算每个簇的质心，如何计算的是根据目标函数得来的，因此在开始时我们要考虑距离度量和目标函数。
考虑欧几里得距离的数据，使用误差平方和（Sum of the Squared Error,SSE）作为聚类的目标函数，两次运行K均值产生的两个不同的簇集，我们更喜欢SSE最小的那个。
参考资料
- TODO
参考资料
- TODO
参考资料
- TODO
参考资料
- TODO
参考资料
- TODO
参考资料
随机森林属于集成学习（Ensemble Learning）中的bagging算法。在集成学习中，主要分为bagging算法和boosting算法。我们先看看这两种方法的特点和区别。
Bagging（套袋法）
bagging的算法过程如下：
从原始样本集中使用Bootstraping方法随机抽取n个训练样本，共进行k轮抽取，得到k个训练集。（k个训练集之间相互独立，元素可以有重复） 对于k个训练集，我们训练k个模型（这k个模型可以根据具体问题而定，比如决策树，knn等） 对于分类问题：由投票表决产生分类结果；对于回归问题：由k个模型预测结果的均值作为最后预测结果。（所有模型的重要性相同）
Boosting（提升法）
boosting的算法过程如下：
对于训练集中的每个样本建立权值wi，表示对每个样本的关注度。当某个样本被误分类的概率很高时，需要加大对该样本的权值。
进行迭代的过程中，每一步迭代都是一个弱分类器。我们需要用某种策略将其组合，作为最终模型。（例如AdaBoost给每个弱分类器一个权值，将其线性组合最为最终分类器。误差越小的弱分类器，权值越大） Bagging，Boosting的主要区别
样本选择上：Bagging采用的是Bootstrap随机有放回抽样；而Boosting每一轮的训练集是不变的，改变的只是每一个样本的权重。
样本权重：Bagging使用的是均匀取样，每个样本权重相等；Boosting根据错误率调整样本权重，错误率越大的样本权重越大。
预测函数：Bagging所有的预测函数的权重相等；Boosting中误差越小的预测函数其权重越大。
并行计算：Bagging各个预测函数可以并行生成；Boosting各个预测函数必须按顺序迭代生成。
下面是将决策树与这些算法框架进行结合所得到的新的算法：
1）Bagging + 决策树 = 随机森林
2）AdaBoost + 决策树 = 提升树
3）Gradient Boosting + 决策树 = GBDT
决策树
常用的决策树算法有ID3，C4.5，CART三种。3种算法的模型构建思想都十分类似，只是采用了不同的指标。决策树模型的构建过程大致如下：
ID3，C4.5决策树的生成
输入：训练集D，特征集A，阈值eps 输出：决策树T
若D中所有样本属于同一类Ck，则T为单节点树，将类Ck作为该结点的类标记，返回T
若A为空集，即没有特征作为划分依据，则T为单节点树，并将D中实例数最大的类Ck作为该结点的类标记，返回T 否则，计算A中各特征对D的信息增益(ID3)/信息增益比(C4.5)，选择信息增益最大的特征Ag
若Ag的信息增益（比）小于阈值eps，则置T为单节点树，并将D中实例数最大的类Ck作为该结点的类标记，返回T 否则，依照特征Ag将D划分为若干非空子集Di，将Di中实例数最大的类作为标记，构建子节点，由结点及其子节点构成树T，返回T
对第i个子节点，以Di为训练集，以A-{Ag}为特征集，递归地调用1~5，得到子树Ti，返回Ti
CART决策树的生成
这里只简单介绍下CART与ID3和C4.5的区别。
CART树是二叉树，而ID3和C4.5可以是多叉树 CART在生成子树时，是选择一个特征一个取值作为切分点，生成两个子树 选择特征和切分点的依据是基尼指数，选择基尼指数最小的特征及切分点生成子树
随机森林
随机森林是一种重要的基于Bagging的集成学习方法，可以用来做分类、回归等问题。
随机森林有许多优点：
- 具有极高的准确率
- 随机性的引入，使得随机森林不容易过拟合
- 随机性的引入，使得随机森林有很好的抗噪声能力
- 能处理很高维度的数据，并且不用做特征选择
- 既能处理离散型数据，也能处理连续型数据，数据集无需规范化
- 训练速度快，可以得到变量重要性排序
- 容易实现并行化
随机森林的缺点：
当随机森林中的决策树个数很多时，训练时需要的空间和时间会较大
随机森林模型还有许多不好解释的地方，有点算个黑盒模型
与上面介绍的Bagging过程相似，随机森林的构建过程大致如下：
从原始训练集中使用Bootstraping方法随机有放回采样选出m个样本，共进行n_tree次采样，生成n_tree个训练集 对于n_tree个训练集，我们分别训练n_tree个决策树模型
对于单个决策树模型，假设训练样本特征的个数为n，那么每次分裂时根据信息增益/信息增益比/基尼指数选择最好的特征进行分裂
每棵树都一直这样分裂下去，直到该节点的所有训练样例都属于同一类。在决策树的分裂过程中不需要剪枝 将生成的多棵决策树组成随机森林。对于分类问题，按多棵树分类器投票决定最终分类结果；对于回归问题，由多棵树预测值的均值决定最终预测结果
参考资料
- TODO
参考资料
- TODO
参考资料
PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。网上关于PCA的文章有很多，但是大多数只描述了PCA的分析过程，而没有讲述其中的原理。这篇文章的目的是介绍PCA的基本数学原理，帮助读者了解PCA的工作机制是什么。
当然我并不打算把文章写成纯数学文章，而是希望用直观和易懂的方式叙述PCA的数学原理，所以整个文章不会引入严格的数学推导。希望读者在看完这篇文章后能更好的明白PCA的工作原理。
参考资料
- TODO
参考资料
- TODO
参考资料
- TODO
参考资料
在学习机器学习、深度学习，甚至做自己项目的时候，经过看到上述名词。然而因为名词容易搞混，所以经常会忘记相关的含义。
这里做一次最全最清晰的介绍，若之后再次忘记相关知识点，本文可以帮助快速回顾。
首先，列出一个清单：
-
TP（true positive，真正）: 预测为正，实际为正
-
FP（false positive，假正）: 预测为正，实际为负
-
TN（true negative，真负）：预测为负，实际为负
-
FN（false negative，假负）: 预测为负，实际为正
-
ACC（accuracy，准确率）：ACC = (TP+TN)/(TP+TN+FN+FP)
-
P（precision精确率、精准率、查准率P = TP/ (TP+FP)
-
R（recall，召回率、查全率）： R = TP/ (TP+FN)
-
TPR（true positive rate，，真正类率同召回率、查全率）：TPR = TP/ (TP+FN)
注：Recall = TPR
-
FPR（false positive rate，假正类率）：FPR =FP/ (FP+TN)
-
F-Score: F-Score = (1+β^2) x (PxR) / (β^2x(P+R)) = 2xTP/(2xTP + FP + FN)
-
当β=1是，F1-score = 2xPxR/(P+R)
-
P-R曲线（precision-recall，查准率-查全率曲线）
-
ROC曲线（receiver operating characteristic，接收者操作特征曲线）
-
AUC（area under curve）值
中文博大精深，为了不搞混，下面统一用英文全称或简称作为名词标识。
正式介绍一下前四个名词：
True positives（TP，真正） : 预测为正，实际为正
True negatives（TN，真负）：预测为负，实际为负
False positives（FP，假正）: 预测为正，实际为负
False negatives（FN，假负）: 预测为负，实际为正
为了更好的理解，这里二元分类问题的例子：
假设，我们要对某一封邮件做出一个判定，判定这封邮件是垃圾邮件、还是这封邮件不是垃圾邮件？
如果判定是垃圾邮件，那就是做出（Positive）的判定；
如果判定不是垃圾邮件，那就做出（Negative）的判定。
True Positive（TP）意思表示做出Positive的判定，而且判定是正确的。
因此，TP的数值表示正确的Positive判定的个数。
同理，False Positive（TP）数值表示错误的Positive判定的个数。
依此，True Negative（TN）数值表示正确的Negative判定个数。
False Negative（FN）数值表示错误的Negative判定个数。
TPR、FPR和TNR
TPR（true positive rate，真正类率）
TPR = TP/(TP+FN)
真正类率TPR代表分类器预测的正类中实际正实例占所有正实例的比例。
FPR（false positive rate，假正类率）
FPR = FP/(FP+TN)
假正类率FPR代表分类器预测的正类中实际负实例占所有负实例的比例。
TNR（ture negative rate，真负类率）
TNR = TN/(FP+TN)
真负类率TNR代表分类器预测的负类中实际负实例占所有负实例的比例。
Accuracy
准确率（accuracy，ACC）
ACC = (TP+TN)/(TP+TN+FN+FP)
Precision & Recall
P = TP/(TP+FP)
表示当前划分到正样本类别中，被正确分类的比例（正确正样本所占比例）。
R = TP/(TP+FN)
表示当前划分到正样本类别中，真实正样本占所有正样本的比例。
F-Score
F-Score 是精确率Precision和召回率Recall的加权调和平均值。该值是为了综合衡量Precision和Recall而设定的。
F-Score = (1+β^2) x (PxR) / (β^2x(P+R)) = 2xTP/(2xTP + FP + FN)
当β=1时，F1-score = 2xPxR/(P+R)。这时，Precision和Recall都很重要，权重相同。
当有些情况下，我们认为Precision更重要，那就调整β的值小于1；如果我们认为Recall更加重要，那就调整β的值大于1。
一般来说，当F-Score或F1-score较高
P-R曲线
ROC曲线
横轴：负正类率(false postive rate FPR)
纵轴：真正类率(true postive rate TPR)
AUC值
上面都是理论，看起来很迷糊，这里举个真实应用的实例，加强理解。
对于那些不熟悉的人，我将解释精确度和召回率，对于那些熟悉的人，我将在比较精确召回曲线时解释文献中的一些混淆。
下面从图像分类的角度举个例子：
假设现在有这样一个测试集，测试集中的图片只由大雁和飞机两种图片组成，如下图所示：
假设你的分类系统最终的目的是：能取出测试集中所有飞机的图片，而不是大雁的图片。
现在做如下的定义：
True positives（TP，真正） : 飞机的图片被正确的识别成了飞机。
True negatives（TN，真负）: 大雁的图片没有被识别出来，系统正确地认为它们是大雁。
False positives（FP，假正）: 大雁的图片被错误地识别成了飞机。
False negatives（FN，假负）: 飞机的图片没有被识别出来，系统错误地认为它们是大雁。
实战
'''In binary classification settings'''
######### Create simple data ##########
from sklearn import svm, datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
# Add noisy features
random_state = np.random.RandomState(0)
n_samples, n_features = X.shape
X = np.c_[X, random_state.randn(n_samples, 200 * n_features)]
# Limit to the two first classes, and split into training and test
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X[y < 2], y[y < 2],
test_size=.5,
random_state=random_state)
# Create a simple classifier
classifier = svm.LinearSVC(random_state=random_state)
classifier.fit(X_train, y_train)
y_score = classifier.decision_function(X_test)
######## Compute the average precision score ########
from sklearn.metrics import average_precision_score
average_precision = average_precision_score(y_test, y_score)
print('Average precision-recall score: {0:0.2f}'.format(
average_precision))
######## Plot the Precision-Recall curve ######
from sklearn.metrics import precision_recall_curve
import matplotlib.pyplot as plt
precision, recall, _ = precision_recall_curve(y_test, y_score)
plt.step(recall, precision, color='b', alpha=0.2,
where='post')
plt.fill_between(recall, precision, step='post', alpha=0.2,
color='b')
plt.xlabel('Recall')
plt.ylabel('Precision')
plt.ylim([0.0, 1.05])
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.title('2-class Precision-Recall curve: AP={0:0.2f}'.format(
average_precision))
plt.show()参考资料
-
Accuracy, Precision, Recall & F1 Score: Interpretation of Performance Measures
-
【YOLO学习】召回率（Recall），精确率（Precision），平均正确率（Average_precision(AP) ），交除并（Intersection-over-Union（IoU））
-
L1 范数
-
L2 范数
-
数据集增广
-
Dropout
-
Batch Normaliztion
参考资料
目的：降低损失函数
机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ1-norm和ℓ2-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。
L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1即为L1正则化项。
下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项即为L2正则化项。
一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：
- L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为||w||1
- L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为||w||2 一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。
那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。
- L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
- L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合
稀疏模型与特征选择
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？
稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。
L1和L2正则化的直观理解
这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。
L1正则化和特征选择 假设有如下带L1正则化的损失函数：
其中J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时，相当于对J0做了一个约束。令L=α∑w|w|，则J=J0+L，此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1和w2，此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图：
图1 L1正则化
图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。
类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：
同样可以画出它们在二维平面上的图形，如下：
图2 L2正则化
二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。
注：以二维平面举例，借助可视化L1和L2，可知L1正则化具有稀疏性。
L2正则化和过拟合
拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。
那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？
以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：
那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：
其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：
其中λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θj不断减小，因此总得来看，θ是不断减小的。 最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。
L2正则化参数
从上述公式可以看到，λ越大，θj衰减得越快。另一个理解可以参考图2，λ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。
参考：
- [机器学习中正则化项L1和L2的直观理解](
过拟合（Over-Fitting）
高方差
在训练集上误差小，但在测试集上误差大，我们将这种情况称为高方差（high variance），也叫过拟合。
欠拟合（Under-Fitting）
在训练集上训练效果不好（测试集上也不好），准确率不高，我们将这种情况称为高偏差（high bias），也叫欠拟合。
如何解决过拟合？
- 数据增广（Data Augmentation）
- 正则化（L0正则、L1正则和L2正则），也叫限制权值Weight-decay
- Dropout
- Early Stopping
- 简化模型
- 增加噪声
- Bagging
- 贝叶斯方法
如何解决欠拟合？
- 添加新特征
- 添加多项式特征
- 减少正则化参数
- 增加网络复杂度
- 使用集成学习方法，如Bagging
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