README.md

Касаемо всего

Во-первых, общая структура конспектов такая: в общей папке хранится pdf файл вёрстки $\LaTeX$, внутри которого всё, что есть (по мере внесения мною изменений, конечно). Сам файл $\TeX$ в гитигноре, но если кто-то хочет посмотреть или участвовать, то могу открыть. В остальном структура проста, всего две с половиной части (введение, кинематика, статика), внутри разделение на главы, дальше на конспекты, где находится два .md (markdown, см. далее) файла — сам конспект (теоретическая часть) и примеры (практическая часть). Там же папка с картинками, на которые мы ссылаемся. Не удивляйтесь странным названиям папок (без намёка на содержимое) и не пытайтесь их, пожалуйста, сменить без моего ведома — так, к сожалению, надо. Быть может, потом проблема решится. То же касается и соблазна создать новый раздел (вероятно, параграф): сначала лучше напишите мне. Впрочем, здесь уже не так важно.

Во-вторых, давайте постараемся соблюдать общий стиль, хотя бы в обозначениях. Так всем будет гораздо проще. Если понадобится, можно будет где-нибудь здесь сделать что-то типа сводки основных обозначений.

Основы Markdown + Mathjax

Markdown

Markdown — простейший редактор текста. Полное его освоение не займёт больше получаса (это ни разу не преувеличение, если что). Собственно, главная идея и преимущество маркдауна — доступность.

На гитхабе используется Github Flavored Markdown (gfm). Он немного отличается от ванильного md (в основном в сторону расширения возможностей). Например, (ха), на нём можно делать такое:

CLICK ME

   rm -rf /*

или даже такое :

solid mySolid 
facet normal -6.859293e-1 -3.417439e-3 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex 5.080000e+1 -5.080000e+1 -2.385810e-1 
  vertex 5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 2.540000e+1 -2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 3.417439e-3 6.859293e-1 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 -5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex 5.080000e+1 -5.080000e+1 -2.385810e-1 
  vertex 2.540000e+1 -2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 6.859293e-1 3.417439e-3 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex -5.080000e+1 5.080000e+1 -2.385810e-1 
  vertex -5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex -2.540000e+1 2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal -3.417439e-3 -6.859293e-1 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex -5.080000e+1 5.080000e+1 -2.385810e-1 
  vertex -2.540000e+1 2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 6.877364e-1 0.000000e+0 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 0.000000e+0 -5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex 2.540000e+1 -2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 0.000000e+0 -6.877364e-1 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex 5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 2.540000e+1 -2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal -6.877364e-1 0.000000e+0 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 0.000000e+0 5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex -2.540000e+1 2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 0.000000e+0 6.877364e-1 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex -5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex -2.540000e+1 2.540000e+1 -2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal -6.877364e-1 0.000000e+0 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 2.540000e+1 2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 0.000000e+0 -6.877364e-1 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 2.540000e+1 2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 0.000000e+0 6.877364e-1 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex -5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex -2.540000e+1 -2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 6.877364e-1 0.000000e+0 7.259605e-1 
 outer loop 
  vertex 0.000000e+0 -5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex 0.000000e+0 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex -2.540000e+1 -2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal -3.417439e-3 6.859293e-1 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex 5.080000e+1 5.080000e+1 2.385810e-1 
  vertex 0.000000e+0 5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex 2.540000e+1 2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 6.859293e-1 -3.417439e-3 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex 5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex 5.080000e+1 5.080000e+1 2.385810e-1 
  vertex 2.540000e+1 2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal -6.859293e-1 3.417439e-3 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex -5.080000e+1 0.000000e+0 0.000000e+0 
  vertex -5.080000e+1 -5.080000e+1 2.385810e-1 
  vertex -2.540000e+1 -2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
facet normal 3.417439e-3 -6.859293e-1 7.276602e-1 
 outer loop 
  vertex -5.080000e+1 -5.080000e+1 2.385810e-1 
  vertex 0.000000e+0 -5.080000e+1 0.000000e+0 
  vertex -2.540000e+1 -2.540000e+1 2.406261e+1 
 endloop 
endfacet 
endsolid mySolid

Loading

Основную информацию про markdown можно найти, например, здесь [:ru:]. Читать всё ненужно, достаточно прочесть основы, а остальное уже по мере необходимости. Документация по gfm находится тут [:uk:] (по ссылке, опять же, основы, но больше, наверное, и не потребуется).

Добавлю к этой статье описание некоторых дополнительных функций. С помощью якоря можно сослаться не только на разделы, но и на конкретные слова . Синтаксис такой:

<a name="tag_name"> Целевой текст </a>
...
[Текст ссылки](#tag_name)

С помощью "аббревиатур" можно оставить небольшое примечание. Видимо не работает? Странно. Синтаксис используется следующий:

<abbr title="Расшифровка">Текст, требующий уточнения.</abbr>

Как можно было заметить из моих дополнений, gfm свободно поддерживает raw HTML¹.

Mathjax

Mathjax позволяет использовать в маркдауне формулы с помощью системы вёрстки $\TeX$ (а точнее $\LaTeX$ с некоторыми дополнительными пакетами (а точнее очень сильно урезанной его версии с некоторыми дополнительными возможностями )). Писать формулы в $\LaTeX$е на том уровне, на котором требуется сейчас, достаточно просто. Гораздо проще, во всяком случае, чем в ворде.

Формулы в $\LaTeX$е делятся на два типа:

1. Внутритекстовые формулы выделяются с обеих сторон знаком $небольшая_формула$. Они имеют промежуточный смысл. Любой математический знак в тексте, как, например, $x$ или точка $A$, должен быть выделен в формулу.
2. Выключные формулы выделяются двойными долларовыми скобками: $$большая_формула$$. Такие формулы выносятся в отдельную строку (и ровно в одну; для переноса строки используются дополнительные средства). Итак, выключная формула выглядит следующим образом: $$\frac{\pi^2}{6}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$

К сожалению, при работе с матджаксом иногда возникают сложности, которые не должны возникать . К примеру, перед и после $$ вроде как (!) нужно пропускать пустую строку². Или при написании формулы вроде как (!) после доллара нельзя делать пробел, то есть $ формула$ не сработает, при этом $$ формула $$ вроде как спокойно работает. Из-за подобных мелочей у вас вместо формулы будет отображаться её код. Ровно ту же проблему мы получим, использовав в формуле некорректную команду или допустив любую другую ошибку, так что "отладка" в матджаксе сумеет доставить неприятности.

В формулах можно не думать о пробелах, $\LaTeX$ расставит их за вас. Теперь посмотрим на синтаксис команды (под командой здесь следует понимать всё, что выглядит не так, как пишется): \ключевое_слово[необязательный_аргумент]{обязательный_аргумент}{ещё_аргумент}.... Не у всех команд вообще есть аргументы, а у некоторых их больше одного. Например, букву $\Xi$ (кси) я записал так: $\Xi$, но выражение $$x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = x^\frac13$$ запишу так: $$x \geqslant 0 \Longrightarrow \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}³.

Существует некоторое количество команд, которые не начинаются с бекслеша. К ним, среди прочего, относятся часто используемые операция возведения в степень (^) и операция индексирования (_). В действительности эти команды немного шире и скорее владеют расстановкой "чего-то сверху" и "чего-то снизу". Примером могут послужить данное мною выражение, которое я оформил следующим образом (обратите внимание на \pi, k, \lim и особое внимание на \sum):

\frac{\pi^2}{6}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}

Рассмотрим ещё один пример — пределы интеграла Римана. Ситуация с ними интереснее тем, что по умолчанию пределы интегрирования записываются в западной традиции:

$$ \int_b^a f(x) dx. $$

Исправить это можно, если добавить перед перечислением пределов команду \limits:

$$
\int\limits_a^bf(x)\\,dx = F(b)-F(a).
$$

В таком случае пределы будут выглядеть нормально.

$$ \int\limits_a^bf(x)\,dx = F(b)-F(a). $$

Помимо неверного отображения пределов интегрирования, у первой формулы есть ещё одна существенная проблема. Обратите внимание на команду \\, во второй формуле, которая заменяет в Матджаксе команду $\TeX$а \,. Она делает небольшой пробел, необходимый перед указанием интегрируемой переменной. Можете сравнить первую и вторую формулу и увидеть разницу.

Пожалуйста, оформляйте любую последовательность символов в команду, если это возможно. Например, вместо $cos x$ $(cos x)$ крайне желательно написать $\cos x$ $(\cos x)$. Особенно сильно поражают глаза такие ошибки в выключных формулах:

$$ arsinh (tan alpha) \ne \operatorname{artanh} \left( \sin \alpha \right). $$

И сразу ещё одно замечание, векторы хорошо бы оформлять так: \mathbf a $(\mathbf a)$ или \mathbf{\vec{a}} $(\mathbf{\vec{a}})$, если считаете нужным явно показать, что речь идёт о векторе⁴. Это не критично, но желательно.

Ещё один частный случай возникает с угловыми скобками и двоеточием. Что же особенного в угловых скобках и двоеточии? Разгадка проста: символы <:> внутри формулы понимаются как математические знаки сравнения и отношения, и форматируются они с отступами с обеих сторон. Если же мы хотим пользоваться ими как скобками и двоеточием⁵, то обязательно заменяем их на команды \langle \colon \rangle.

Некоторые команды в формулах представляют собой окружения. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай. Обычная скобка в формуле является стандартным символом с заранее установленным (не очень большим) размером. В случае, например, дробных формул возникает естественное желание — пожалуйста, не игнорируйте его — этот размер изменить, в идеале автоматически. Для этого используется окружение \left( ... \right). В этом случае размер скобки автоматически выровняется по самому высокой части окружения. Вместо обычной скобки подойдёт и любая другая (фигурная, угловая, знак модуля и т.д.), а также любая их комбинация. Кстати говоря, если вы хотите использовать какой-либо из специальных символов в тексте или формуле, то просто поставьте перед ним знак начала команды \{ \% ....

Если будет сложно даваться, то емнип, в интернете есть порядочное количество редакторов формул для $\LaTeX$а. По этому вопросу могу только посоветовать онлайн программу, которая преобразует нарисованные вами символы в команду $\LaTeX$а. Кроме этого, с любой проблемой с $\LaTeX$ом можете смело обращаться в гугл, сама система очень популярная. У неё вроде как есть вполне приличная документация, да и книжки есть хорошие, но вряд ли они вам понадобятся. Не самой плохой идеей также будет подсматривать необходимые формулы на википедии (при нажатии кнопки править), которая тоже написана на своём аналоге $\LaTeX$а. Кроме того, в номотехе или в чужих .md файлах (в т.ч. здесь) можете кликнуть по формуле правой кнопкой мыши и указать Show Math As ► TeX Commands и отобразится небольшое меню с данной формулой, набранной в $\LaTeX$е.

Дополнение. Формулы в несколько строк

Как уже говорилось, выключные формулы, оформленные в $$...$$ располагаются строго на одной строке. Возникает соответствующая проблема с большими и подряд идущими формулами. Пожалуйста, не надо решать эту проблему так, это будет ужасно выглядеть:

$$
формула_1
$$ 
$$
формула_2
$$
...

Для многострочных выключных формул используются следующие окружения:

$$
\begin{multline}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\ldots\\
+46+47+48+\ldots\\
+99+100=5050
\end{multline}
$$ 

$$ \begin{multline} 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+\ldots\\ +46+47+48+\ldots\\ +99+100=5050 \end{multline} $$

multline позволяет переносить строку (с помощью комбинации \\) естественным образом, формулы не будут расположены ровно друг под другом. Стандартный подход (между прочим, унаследован ещё от $\TeX$а), хотя конкретно на гитхабе какие-то слишком широкие страницы на компьютере и, как видно из примера выше, такое окружение подойдёт только для действительно больших формул.

$$\begin{gather}
i+j=k;\\
j+k=i;\\
k+i=j.\\
\\
\therefore i+j+i+k=i. 
\end{gather}$$ 

$$ \begin{gather} i+j=k;\\ j+k=i;\\ k+i=j.\\ \\ \therefore i+j+i+k=i. \end{gather} $$

Стандартное расположение формул друг под другом с помощью окружения gather.

$$
\begin{aligned}
a+b+c+d+e+f&=g \Rightarrow \\
\Rightarrow g-f &= a+b+c+d+e. \\
\therefore a+b+c &= g-d-e-f.
\end{aligned}
$$

$$ \begin{aligned} a+b+c+d+e+f&=g \Rightarrow \\ \Rightarrow g-f &= a+b+c+d+e. \\ \therefore a+b+c &= g-d-e-f. \end{aligned} $$

Расположение формул с выравниваем по знаку &.

$$
\begin{cases} 
3x + 5y + z &= 0 \\ 
7x – 2y + 4z &= 0 \\ 
-6x + 3y + 2z &= 0 
\end{cases}
$$

$$ \begin{cases} 3x + 5y + z &= 0 \\ 7x – 2y + 4z &= 0 \\ -6x + 3y + 2z &= 0 \end{cases} $$

Окружение cases позволяет производить выравнивание и одновременно создаёт большую фигурную скобку слева. Отлично подходит для систем уравнений, а также для вариаций значения переменной при разных условиях.

Дополнение. Матрицы

Всё достаточно просто. Матрица, очевидно, является окружением. Чтобы создать саму таблицу чисел, используется \begin{matrix} ... \end{matrix}. Для скобок используется уже известный нам приём с ещё одним окружением \left( ... \right) (скобки могут быть любыми). Последнее окружение, естественно, должно окружать первое. Разделение по столбцам, то есть выравнивание, как и выше, идёт по символу &, а перенос строки, как и выше, по символам \\.

Суммируем знания примером с нестандартными скобками:

$$
\left\[ \begin{matrix}
  \vec{\mathbf{e}}_1 &\vec{\mathbf{e}}_2 &\vec{\mathbf{e}}_3\\
  a^1 &a^2 &a^3\\
  b^1 &b^2 &b^3\\
\end{matrix} \right\|.
$$

Результатом будет следущее:

$$ \left[ \begin{matrix} \vec{\mathbf{e}}_1 &\vec{\mathbf{e}}_2 &\vec{\mathbf{e}}_3\\ a^1 &a^2 &a^3\\ b^1 &b^2 &b^3\\ \end{matrix} \right|. $$

Здесь следует обратить внимание на расположение индексов у базисных векторов. Сравните, например, \vec{\mathbf{e_1}}, \vec{\mathbf{e}_1} и \vec{\mathbf{e}}_1: $$\vec{\mathbf{e_1}} \ne \vec{\mathbf{e}_1} \ne \vec{\mathbf{e}}_1$$

Ещё один вариант, который экономит наши силы. Название окружения варьируется в зависимости от скобок матрицы. Для стандартных (круглых) скобок используется pmatrix, для [квадратных] bmatrix, для |прямых| и ||двойных прямых|| — vmatrix и Vmatrix соответственно.

Например, ввод такого кода

$$
[\mathbf a,\mathbf b]=\begin{vmatrix}
  \vec{\mathbf{e}}_1 &\vec{\mathbf{e}}_2 &\vec{\mathbf{e}}_3\\
  a^1 &a^2 &a^3\\
  b^1 &b^2 &b^3\\
  \end{vmatrix}.
$$

даст следующий результат:

$$ [\mathbf a,\mathbf b]=\begin{vmatrix} \vec{\mathbf{e}}_1 &\vec{\mathbf{e}}_2 &\vec{\mathbf{e}}_3\\ a^1 &a^2 &a^3\\ b^1 &b^2 &b^3\\ \end{vmatrix}. $$

Footnotes

1. Если я правильно понял, он и пользовательские css-стили поддерживает. ↩

2. Наверняка подойдёт и пробел, но в случае с выключными формулами для кодстайла лучше пропускать строчку. ↩

3. На самом деле команда \frac13, как и операция возведения в степень, в нашем случае сработала бы и без фигурных скобок. Скобки используются для однозначного объединения аргументов. ↩

4. Я бы по умолчанию использовал первый вариант, но об обозначениях договоримся позже. ↩

5. Двоеточие используется реже. В формуле на языке логики оно означает "такой, что". ↩