atividade01.Rmd

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author: "Henrique Capatto Ra 146406"
title: "Exercício 1"
output: html_document
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# Geração de números aleatórios
  
  Execução do primeiro exercício proposto

## Método da Inversão

O exercício em questão porpõe gerar números aleatórios que sigam a função densidade:
  
  
  $$
  f_{X}(x) = \lambda e^{(-\lambda x)}, \forall x\in (0,\infty ), \forall \lambda\in (0,\infty )
  $$
  
  Para gerar números aleatórios utilizando o **método da inversão**, precisamos:
  
  1. Determinar a função acumulada de $x$;
$$
  F_X(x)= \int_{0}^{x} \lambda e^{(-\lambda y)} dy = 1-e^{(-\lambda x)}
$$
  2. Inverter a função acumulada;
$$
  \begin{aligned}
u & = 1-e^{(-\lambda x)}\\
x & = \ln(1-u)/-\lambda
\end{aligned}
$$
  3. Gerar amostras aleatórias de acordo com uma distribuição exponencial$(\lambda)$;

4. Aplicar a função inversa, $\ln(1-u)/-\lambda$, nos números recém-gerados;

```{r d_rexp2}

rexp2=function(n,lambda){
  
  unif01=runif(n)
  
  x = (-1/lambda)*(log(1-unif01))
  
  return(x)
}
n=1e3

lambda=10

amostra = rexp2(n,lambda)

```

A seguir, gráfico gerado, um histograma especificamente, a partir a amostra de 
tamanho `r n`,sobreposto ao gráfico da função referida anteriormente.

```{r}
hist(amostra,col="antiquewhite2",border="black",freq=FALSE)

curve(10*exp(-10*x),lw=1.5,col="darkslategray",add=TRUE)

```

```{r,echo=FALSE}
alpha= .05
```

O teste que se utilizará para validar a hipótese será o Chi-Quadrado de Aderência, possuinte do objetivo de testar a adeuqabilidade de um modelo probabilistico em
relação a um conjunto de dados observados. Faremos o teste utilizando os quartis téoricos e os orginários da amostra aleatória. A hipótese nula é a de que a amostra segue a distribuição deseja. A alternativa, é a de que não segue.

Definição de $\alpha=$ `r alpha`

OS quartis teóricos desta distribuição são determinados pela pontos em que a função acumulada
atinge os valores pré-especificada dos quantis(0.25,0.5,0.75).

```{r, results="hide", echo=FALSE}

q1=round((log(1-0.25)/(-lambda)),digits=4)

q2=round((log(1-0.5)/(-lambda)),digits=4)

q3=round((log(1-0.75)/(-lambda)),digits=4)

```

Os resultados acima são respectivamente, `r q1`, `r q2` e `r q3`.

```{r,results="hide"}

quartis = c(0,q1,q2,q3,1)

resTmp = cut(amostra, quartis, include.lowest=TRUE)

obs = as.integer(table(resTmp))

esp = rep(n/4, 4)

p_valor=chisq.test(cbind(obs, esp))[3]

prop.table(table(resTmp))
```

O p-valor resultante é: `r p_valor` 

Logo, se  p-valor for $<0.05$, rejeitar-se-á a hipótese nula. Caso contrário, não se preterirá.