Opuesto_del_cero.lean

-- Opuesto_del_cero.lean
-- Si R es un anillo, entonces -0 = 0
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 9-agosto-2023
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Demostrar que si R es un anillo, entonces
--    -0 = 0
-- ----------------------------------------------------------------------

-- Demostraciones en lenguaje natural (LN)
-- =======================================

-- 1ª demostración en LN
-- =====================

-- Por la suma con cero se tiene
--    0 + 0 = 0
-- Aplicándole la propiedad
--    ∀ a b ∈ R, a + b = 0 → -a = b
-- se obtiene
--    -0 = 0

-- 2ª demostración en LN
-- =====================

-- Puesto que
--    ∀ a b ∈ R, a + b = 0 → -a = b
-- basta demostrar que
--    0 + 0 = 0
-- que es cierta por la suma con cero.

-- Demostraciones con Lean4
-- ========================

import Mathlib.Algebra.Ring.Defs
import Mathlib.Tactic

variable {R : Type _} [Ring R]

-- 1ª demostración (basada en la 1ª en LN)
example : (-0 : R) = 0 :=
by
  have h1 : (0 : R) + 0 = 0 := add_zero 0
  show (-0 : R) = 0
  exact neg_eq_of_add_eq_zero_left h1

-- 2ª demostración (basada en la 2ª en LN)
example : (-0 : R) = 0 :=
by
  apply neg_eq_of_add_eq_zero_left
  rw [add_zero]

-- 3ª demostración
example : (-0 : R) = 0 :=
  neg_zero

-- 4ª demostración
example : (-0 : R) = 0 :=
by simp

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (a b : R)
-- #check (add_zero a : a + 0 = a)
-- #check (neg_eq_of_add_eq_zero_left : a + b = 0 → -b = a)
-- #check (neg_zero : -0 = 0)