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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目：
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今天就来聊三道考察频率高，而且容易让人搞混的算法问题，分别是求子集（subset），求排列（permutation），求组合（combination）。
这几个问题都可以用回溯算法模板解决，同时子集问题还可以用数学归纳思想解决。读者可以记住这几个问题的回溯套路，就不怕搞不清了。
问题很简单，输入一个不包含重复数字的数组，要求算法输出这些数字的所有子集。
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums);比如输入 nums = [1,2,3]，你的算法应输出 8 个子集，包含空集和本身，顺序可以不同：
[ [],[1],[2],[3],[1,3],[2,3],[1,2],[1,2,3] ]
第一个解法是利用数学归纳的思想：假设我现在知道了规模更小的子问题的结果，如何推导出当前问题的结果呢？
具体来说就是，现在让你求 [1,2,3] 的子集，如果你知道了 [1,2] 的子集，是否可以推导出 [1,2,3] 的子集呢？先把 [1,2] 的子集写出来瞅瞅：
[ [],[1],[2],[1,2] ]
你会发现这样一个规律：
subset([1,2,3]) - subset([1,2])
= [3],[1,3],[2,3],[1,2,3]
而这个结果，就是把 sebset([1,2]) 的结果中每个集合再添加上 3。
换句话说，如果 A = subset([1,2]) ，那么：
subset([1,2,3])
= A + [A[i].add(3) for i = 1..len(A)]
这就是一个典型的递归结构嘛，[1,2,3] 的子集可以由 [1,2] 追加得出，[1,2] 的子集可以由 [1] 追加得出，base case 显然就是当输入集合为空集时，输出子集也就是一个空集。
翻译成代码就很容易理解了：
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
// base case，返回一个空集
if (nums.empty()) return {{}};
// 把最后一个元素拿出来
int n = nums.back();
nums.pop_back();
// 先递归算出前面元素的所有子集
vector<vector<int>> res = subsets(nums);
int size = res.size();
for (int i = 0; i < size; i++) {
// 然后在之前的结果之上追加
res.push_back(res[i]);
res.back().push_back(n);
}
return res;
}这个问题的时间复杂度计算比较容易坑人。我们之前说的计算递归算法时间复杂度的方法，是找到递归深度，然后乘以每次递归中迭代的次数。对于这个问题，递归深度显然是 N，但我们发现每次递归 for 循环的迭代次数取决于 res 的长度，并不是固定的。
根据刚才的思路，res 的长度应该是每次递归都翻倍，所以说总的迭代次数应该是 2^N。或者不用这么麻烦，你想想一个大小为 N 的集合的子集总共有几个？2^N 个对吧，所以说至少要对 res 添加 2^N 次元素。
那么算法的时间复杂度就是 O(2^N) 吗？还是不对，2^N 个子集是 push_back 添加进 res 的，所以要考虑 push_back 这个操作的效率：
for (int i = 0; i < size; i++) {
res.push_back(res[i]); // O(N)
res.back().push_back(n); // O(1)
}因为 res[i] 也是一个数组呀，push_back 是把 res[i] copy 一份然后添加到数组的最后，所以一次操作的时间是 O(N)。
综上，总的时间复杂度就是 O(N*2^N)，还是比较耗时的。
空间复杂度的话，如果不计算储存返回结果所用的空间的，只需要 O(N) 的递归堆栈空间。如果计算 res 所需的空间，应该是 O(N*2^N)。
第二种通用方法就是回溯算法。旧文「回溯算法详解」写过回溯算法的模板：
result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
做选择
backtrack(路径, 选择列表)
撤销选择只要改造回溯算法的模板就行了：
vector<vector<int>> res;
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
// 记录走过的路径
vector<int> track;
backtrack(nums, 0, track);
return res;
}
void backtrack(vector<int>& nums, int start, vector<int>& track) {
res.push_back(track);
for (int i = start; i < nums.size(); i++) {
// 做选择
track.push_back(nums[i]);
// 回溯
backtrack(nums, i + 1, track);
// 撤销选择
track.pop_back();
}
}可以看见，对 res 更新的位置处在前序遍历，也就是说，res 就是树上的所有节点：
输入两个数字 n, k，算法输出 [1..n] 中 k 个数字的所有组合。
vector<vector<int>> combine(int n, int k);比如输入 n = 4, k = 2，输出如下结果，顺序无所谓，但是不能包含重复（按照组合的定义，[1,2] 和 [2,1] 也算重复）：
[ [1,2], [1,3], [1,4], [2,3], [2,4], [3,4] ]
这也是典型的回溯算法，k 限制了树的高度，n 限制了树的宽度，继续套我们以前讲过的回溯算法模板框架就行了：
vector<vector<int>>res;
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
if (k <= 0 || n <= 0) return res;
vector<int> track;
backtrack(n, k, 1, track);
return res;
}
void backtrack(int n, int k, int start, vector<int>& track) {
// 到达树的底部
if (k == track.size()) {
res.push_back(track);
return;
}
// 注意 i 从 start 开始递增
for (int i = start; i <= n; i++) {
// 做选择
track.push_back(i);
backtrack(n, k, i + 1, track);
// 撤销选择
track.pop_back();
}
}backtrack 函数和计算子集的差不多，区别在于，更新 res 的时机是树到达底端时。
输入一个不包含重复数字的数组 nums，返回这些数字的全部排列。
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums);比如说输入数组 [1,2,3]，输出结果应该如下，顺序无所谓，不能有重复：
[ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]
「回溯算法详解」中就是拿这个问题来解释回溯模板的。这里又列出这个问题，是将「排列」和「组合」这两个回溯算法的代码拿出来对比。
首先画出回溯树来看一看：
我们当时使用 Java 代码写的解法：
List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();
/* 主函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列 */
List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
// 记录「路径」
LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();
backtrack(nums, track);
return res;
}
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
// 触发结束条件
if (track.size() == nums.length) {
res.add(new LinkedList(track));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// 排除不合法的选择
if (track.contains(nums[i]))
continue;
// 做选择
track.add(nums[i]);
// 进入下一层决策树
backtrack(nums, track);
// 取消选择
track.removeLast();
}
}回溯模板依然没有变，但是根据排列问题和组合问题画出的树来看，排列问题的树比较对称，而组合问题的树越靠右节点越少。
在代码中的体现就是，排列问题每次通过 contains 方法来排除在 track 中已经选择过的数字；而组合问题通过传入一个 start 参数，来排除 start 索引之前的数字。
以上，就是排列组合和子集三个问题的解法，总结一下：
子集问题可以利用数学归纳思想，假设已知一个规模较小的问题的结果，思考如何推导出原问题的结果。也可以用回溯算法，要用 start 参数排除已选择的数字。
组合问题利用的是回溯思想，结果可以表示成树结构，我们只要套用回溯算法模板即可，关键点在于要用一个 start 排除已经选择过的数字。
排列问题是回溯思想，也可以表示成树结构套用算法模板，关键点在于使用 contains 方法排除已经选择的数字，前文有详细分析，这里主要是和组合问题作对比。
记住这几种树的形状，就足以应对大部分回溯算法问题了，无非就是 start 或者 contains 剪枝，也没啥别的技巧了。
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userLF提供全排列的java代码：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
res.clear();
dfs(nums, 0);//
return res;
}
public void dfs(int[] n, int start) {//start表示要被替换元素的位置
if( start >= n.length) {
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for(int i : n) {
list.add(i);
}
res.add(list);
return;
}
for(int i = start; i< n.length; i++) {//i从start开始，如果从start+1开始的话，会把当前序列遗漏掉直接保存了下一个序列
int temp= n[i];
n[i] = n[start];
n[start] = temp;
dfs(n, start + 1);//递归下一个位置
//回到上一个状态
n[start] = n[i];
n[i] = temp;
}
}
}数学归纳思想
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number[][]}
*/
var subsets = function (nums) {
// base case, 返回一个空集
if (nums.length === 0) {
return [[]]
}
// 把最后一个元素拿出来
let n = nums.pop();
// 递归算出前面元素的所有子集
let res = subsets(nums);
let size = res.length;
for (let i = 0; i < size; i++) {
// 然后在之前的结果之上追加
res.push(res[i]);
res[res.length - 1].push(n);
}
return res;
}回溯思想
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number[][]}
*/
const subsets = (nums) => {
// 1. 设置结果集
const result = [[]];
// 2. 数组排序
nums.sort((a, b) => a - b);
// 3. 递归
const recursion = (index, path) => {
// 3.1 设置终止条件
if (path.length === nums.length) {
return;
}
// 3.2 遍历数组
for (let i = index; i < nums.length; i++) {
// 3.2.1 添加内容
path.push(nums[i]);
// 3.2.2 添加结果集
result.push(path.concat());
// 3.2.3 进一步递归
recursion(i + 1, path);
// 3.2.4 回溯，还原之前状态，以备下一次使用
path.pop();
}
};
recursion(0, []);
// 4. 返回结果
return result;
};
console.log(subsets([1, 2, 3]));不得不说，用js实现递归总是能遇上很多坑，其中多半都是js内置函数和引用问题的坑。看完本文，你很容易就能写入如下的js解法，但结果放到leetcode一跑，输出却十分迷惑。
let res = []
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number[][]}
*/
var permute = function (nums) {
let track = [];
backtrack(nums, track);
return res;
};
var backtrack = function (nums, track) {
// 触发结束条件
if (track.length === nums.length) {
res.push(track)
return;
}
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// 排除不合法的选择
if (track.indexOf(nums[i]) > -1) {
continue;
}
// 做选择
track.push(nums[i]);
// 进入下一层决策树
backtrack(nums, track);
// 取消选择
track.pop()
}
}输入：[1,2,3]
输出结果：[[],[],[],[],[],[]]
预期结果：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
经过借鉴和改进后，无bug写法如下。
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number[][]}
*/
var permute = function(nums){
// 1. 设置结果集
const result = [];
// 2. 回溯
const recursion = (path, set) => {
// 2.1 设置回溯终止条件
if (path.length === nums.length) {
// 2.1.1 推入结果集
result.push(path.concat());
// 2.1.2 终止递归
return;
}
// 2.2 遍历数组
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// 2.2.1 必须是不存在 set 中的坐标
if (!set.has(i)) {
// 2.2.2 本地递归条件（用完记得删除）
path.push(nums[i]);
set.add(i);
// 2.2.3 进一步递归
recursion(path, set);
// 2.2.4 回溯：撤回 2.2.2 的操作
path.pop();
set.delete(i);
}
}
};
recursion([], new Set());
// 3. 返回结果
return result;
};看到这，才恍然大悟，原来是在 2.1.1 推入结果集的过程中，需要使用concat来实现数组的浅复制，并加入到result结果集中，不然会因为引用问题而导致结果集中都是空list。除此之外，你还要注意格外let块级作用域，在作用域外是找不到的！
var combine = function (n, k) {
const res = []
if (k <= 0 || n <= 0) return res;
const track = [];
const backtrack = (n, k, start, track) => {
// 到达树的底部
if (k === track.length) {
res.push(track.concat());
return;
}
// 注意i从start开始递增
for (let i = start; i <= n; i++) {
// 做选择
track.push(i);
backtrack(n, k, i + 1, track);
// 撤销选择
track.pop();
}
}
backtrack(n, k, 1, track);
return res;
};