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RAM

Un modello più vicino ai calcolatori reali rispetto alle MT.

La RAM è dotata di una memoria con accesso a indirizzamento diretto. L’accesso non necessita quindi di scorrimento delle celle. Le istruzioni di un programma usano normalmente come sorgente il primo operando e come destinazione $N[0]$. Ogni cella contiene un intero. Istruzioni della RAM:

NB: SUB= 1 decrementa N[0] di 1

Nota che se nella ram non usa $$ allora è garantito che la memoria necessaria all'esecuzione del programma è finita. In caso di $$ l'indirizzo di memoria su cui la RAM lavora può dipendere dall'input. La complessità spaziale di una $MT$ a nastro singolo include sempre l'input (si tratta di una convenzione).

Due tipi di costo per le RAM

Costo costante

Il criterio a costo costante presuppone che ogni operazione necessita una 'singola unità' di tempo.

Costo logaritmico

Il criterio a costo logaritmico invece presuppone che l'operazione non sia a costo costante ma abbia un costo proporzionale ai 'bit'. Con il criterio a costo costante una somma tra due numeri di 8 bit diremo che occupa circa 1 unità di tempo. A costo logaritmico invece $T(n)=lg_2(n)$ dove n è il numero più alto memorizzabile negli 8 bit (caso pessimo). Quindi a costo logaritmico la somma la consideremo di peso 8 (e non 1).

Costo log per principali operazioni:

• read, load $\rightarrow$ $log(n)$
• add, sum $\rightarrow$ $log(n)$
• mul, div $\rightarrow$ $log^2(n)$

Teorema correlazione polinomiale

Se un problema è risolvibile mediante il modello $M_1$ con complessità (spaziale o temporale) $C_1(n)$, allora è risolvibile da un qualsiasi altro modello (Turing-completo) $M_2$ con complessità $C_2(n)\le \pi(C_1(n))$, dove $\pi (\dot \space)$ un opportuno polinomio.

Ad esempio $n^2$ e $n^{1000}$ sono correlate polinomialmente poichè a 'separarle' c'è un polinomio. $n^{1000}$ e $e^n$ no.

Correlazione temporale tra TM e RAM

La $TM$ impiega al più $\Theta(T_{RAM}(n))$ per simulare una mossa della RAM. Se la RAM ha complessità $\Theta(T_{RAM}(n))$ essa effettua al più $T_{RAM}(n)$ mosse (ogni mossa costa almeno 1), le quali a costo costante sono esattamente $T_{RAM}(n)$, a costo logaritmico sono di meno. La simulazione completa della $RAM$ da parte della $TM$ costa al più $\Theta((T_{RAM}(n^2))$; il legame tra $T_{RAM}(n)$ e $T_{MT}(n))$ è polinomiale.

Nota su TM, RAM e linguaggi regolari

Quando un linguaggio è regolare ognuna dei modelli di calcolo (MT o RAM) possono simulare un automa a stati finiti con il proprio organo di controllo: questo ci spiega che qualsiasi problema formulato con un linguaggio regolare è risolvibile da un algoritmo in $\Theta(n)$ .