类似 PCA (principal component analysis)借鉴数据降维(主成分分析 PCA，principal component analysis）、局部线性嵌入（LLE,locally linear embedding）、拉普拉斯特征映射（Laplacian eigen-map）的思想。
TCA针对domain adaptation问题中，源域和目标域处于不同数据分布时，将两个领域的数据一起映射到一个高维的再生核希尔伯特空间。在此空间中，最小化源和目标的数据距离，同时最大程度地保留它们各自的内部属性。高维空间映射，把特征空间稀疏化以后再分类。
TCA的假设是什么呢？很简单：源域和目标域的边缘分布是不一样的，也就是说，，所以不能直接用传统的机器学习方法。但是呢，TCA假设存在一个特征映射$ \phi$，使得映射后数据的分布
，更进一步，条件分布
。这不就行了么。好了，我们现在的目标是，找到这个合适的$\phi$，一作映射，这事就解决了。
具体
但是世界上有无穷个这样的，也许终我们一生也无法找到这样的
。庄子说过，吾生也有涯，而知也无涯，以有涯随无涯，殆已！我们肯定不能通过穷举的方法来找
的。那么怎么办呢？
回到迁移学习的本质上来：最小化源域和目标域的距离。好了，我们能不能先假设这个是已知的，然后去求距离，看看能推出什么呢？
更进一步，这个距离怎么算？世界上有好多距离，从欧氏距离到马氏距离，从曼哈顿距离到余弦相似度，我们需要什么距离呢？TCA利用了一个经典的也算是比较“高端”的距离叫做最大均值差异（MMD，maximum mean discrepancy）。这个距离的公式如下：
看着很高端（实际上也很高端）。MMD是做了一件什么事呢？简单，就是求映射后源域和目标域的均值之差嘛。
TCA是怎么做的呢，这里就要感谢矩阵了！我们发现，上面这个MMD距离平方展开后，有二次项乘积的部分！那么，联系在SVM中学过的核函数，把一个难求的映射以核函数的形式来求，不就可以了？于是，TCA引入了一个核矩阵：
以及:
这样的好处是，直接把那个难求的距离，变换成了下面的形式：
用降维的方法去构造结果。
这里的W矩阵通过特征分解或者奇异值分解得到更低维度矩阵。
TCA最后的优化目标是：
这里的H是一个中心矩阵，.
这个式子下面的条件是什么意思呢？那个min的目标我们大概理解，就是要最小化源域和目标域的距离，加上W的约束让它不能太复杂。那么下面的条件是什么呢？下面的条件就是要实现第二个目标：维持各自的数据特征。TCA要维持的是什么特征呢？文章中说是variance，但是实际是scatter matrix，就是数据的散度。就是说，一个矩阵散度怎么计算？对于一个矩阵，它的scatter matrix就是
。这个
就是上面的中心矩阵啦。
解决上面的优化问题时，作者又求了它的拉格朗日对偶。最后得出结论，W的解就是的前m个特征值！简单不？数学美不美？然而，我是想不出的呀！
最后说一个TCA的优缺点。优点是实现简单，方法本身没有太多的限制，就跟PCA一样很好用。缺点就是，尽管它绕开了SDP问题求解，然而对于大矩阵还是需要很多计算时间。主要消耗时间的操作是，最后那个伪逆的求解以及特征值分解。在我的电脑上（i7-4790CPU+24GB内存）跑2000*2000的核矩阵时间大概是20秒。