07-Sampling.Rmd

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<!--# Sampling {#sampling}-->
# Muestreo {#sampling}
```{r echo=FALSE,warning=FALSE,message=FALSE}
library(tidyverse)
library(ggplot2)
library(knitr)
library(cowplot)
```

<!--One of the foundational ideas in statistics is that we can make inferences about an entire population based on a relatively small sample of individuals from that population.  In this chapter we will introduce the concept of statistical sampling and discuss why it works.-->
Una de las ideas fundamentales en estadística es que podemos hacer inferencias acerca de una población completa basadas en una muestra relativamente pequeña de individuos de esa población. En este capítulo vamos a introducir el concepto estadístico de muestreo (*sampling*) y discutiremos cómo funciona. 

<!--Anyone living in the United States will be familiar with the concept of sampling from the political polls that have become a central part of our electoral process. In some cases, these polls can be incredibly accurate at predicting the outcomes of elections. The best known example comes from the 2008 and 2012 US Presidential elections, when the pollster Nate Silver correctly predicted electoral outcomes for 49/50 states in 2008 and for all 50 states in 2012.  Silver did this by combining data from 21 different polls, which vary in the degree to which they tend to lean towards either the Republican or Democratic side.  Each of these polls included data from about 1000 likely voters -- meaning that Silver was able to almost perfectly predict the pattern of votes of more than 125 million voters using data from only about 21,000 people, along with other knowledge (such as how those states have voted in the past).-->
Cualquiera viviendo en Estados Unidos está familiarizadx con el concepto de muestreo de las encuestas políticas que se han convertido en un tema central de nuestro proceso electoral. En algunos casos, estas encuestas pueden ser increíblemente acertadas al predecir los resultados de las elecciones. El mejor ejemplo proviene de las elecciones presidenciales de 2008 y 2012, cuando el encuestador Nate Silver predijo correctamente los resultados de 49 de 50 estados en 2008 y todos los 50 estados en 2012. Silver hizo esto mediante la combinación de 21 diferentes encuestas, las cuales varían en el grado en que tienden a inclinarse ya sea al lado republicano o demócrata. Cada una de estas encuestas incluye datos de 1000 votantes -- lo que significa que Silver fue capaz de casi predecir perfectamente el patrón de los votos de más de 125 millones de votantes utilizando datos de aproximadamente 21,000 personas, junto con otros conocimientos (tales como la forma en la que estos estados han votado en el pasado). 

<!--## How do we sample? {#how-do-we-sample}-->
## ¿Cómo hacemos una muestra? {#how-do-we-sample}

<!-- Our goal in sampling is to determine the value of a statistic for an entire population of interest, using just a small subset of the population.  We do this primarily to save time and effort -- why go to the trouble of measuring every individual in the population when just a small sample is sufficient to accurately estimate the statistic of interest?--> 
Nuestro objetivo en el muestreo es determinar el valor de una estadística para una populación entera de interés, utilizando únicamente un subconjunto de dicha población. Hacemos esto primeramente para ahorrar tiempo y esfuerzo -- ¿por qué iríamos tras la batalla de medir cada individuo en la población si con una pequeña muestra es más que suficiente para estimar precisamente la estadística de interés? 

<!--In the election example, the population is all registered voters in the region being polled, and the sample is the set of 1000 individuals selected by the polling organization.  The way in which we select the sample is critical to ensuring that the sample is *representative* of the entire population, which is a main goal of statistical sampling. It's easy to imagine a non-representative sample; if a pollster only called individuals whose names they had received from the local Democratic party, then it would be unlikely that the results of the poll would be representative of the population as a whole.  In general, we would define a representative poll as being one in which every member of the population has an equal chance of being selected.  When this fails, then we have to worry about whether the statistic that we compute on the sample is *biased* - that is, whether its value is systematically different from the population value (which we refer to as a *parameter*).  Keep in mind that we generally don't know this population parameter, because if we did then we wouldn't need to sample!  But we will use examples where we have access to the entire population, in order to explain some of the key ideas.-->
En el ejemplo de las elecciones, la población son todos los votantes registrados en la región siendo encuestada, y la muestra es el conjunto de los 1000 individuos seleccionados por la organización encuestada. La manera en la que seleccionamos la muestra es crítica para asegurar que la muestra es *representativa* de la población entera, el cual es el objetivo principal del muestreo estadístico. Es fácil imaginar una muestra no representativa; si unx encuestadorx únicamente llama a personas cuyos nombres haya recibido del partido demócrata, entonces sería poco probable que los resultados de la encuesta fueran representativos de una población completa. En general, definiríamos una encuesta representativa como una en la que cada miembro de la población tiene la misma oportunidad de ser seleccionado. Cuando esto falla, tenemos entonces que preocuparnos acerca de si la estadística que calculamos está *sesgada* - esto es, si el valor es sistemáticamente diferente del valor poblacional (al que nos referimos como *parámetro*). Mantén en mente que generalmente no conocemos este parámetro poblacional, ¡porque si lo supiéramos no necesitaríamos hacer una muestra! Pero usaremos ejemplos donde tenemos acceso a una población entera, para poder explicar algunas ideas clave.  

<!--It's important to also distinguish between two different ways of sampling: with replacement versus without replacement.  In sampling *with replacement*, after a member of the population has been sampled, they are put back into the pool so that they can potentially be sampled again. In *sampling without replacement*, once a member has been sampled they are not eligible to be sampled again. It's most common to use sampling without replacement, but there will be some contexts in which we will use sampling with replacement, as when we discuss a technique called *bootstrapping* in Chapter \@ref(resampling-and-simulation).-->
Es importante distinguir entre dos modos muy diferentes de muestreo: con reemplazo versus sin reemplazo. En el muestreo *con reemplazo*, después de que un miembro de la población ha sido muestreado, es puesto de regreso al grupo para que pueda ser potencialmente muestrado otra vez. En el muestreo *sin reemplazo*, una vez que lxs miembrxs han sido muestreadxs no son elegibles para ser muestredos otra vez. Es más común utilizar el muestreo sin reemplazo, pero hay algunos contextos en los cuales vamos a utilizar el muestreo con reemplazo, como cuando discutimos la técnica llamada *bootstrapping* en el capítulo \@ref(resampling-and-simulation). 

<!--## Sampling error {#samplingerror}-->
## Error de muestreo {#samplingerror}

<!--Regardless of how representative our sample is, it's likely that the statistic that we compute from the sample is going to differ at least slightly from the population parameter.  We refer to this as *sampling error*. If we take multiple samples, the value of our statistical estimate will also vary from sample to sample; we refer to this distribution of our statistic across samples as the *sampling distribution*.-->
Independientemente de qué tan representativa sea nuestra muestra, es muy probable que la estadística que calculemos de esa muestra vaya a diferir al menos ligeramente del parámetro poblacional. Nos referimos a esto como *error de muestreo* (*sampling error*). Si tomamos múltiples muestras, el valor de nuestro estimado estadístico va a variar de muestra a muestra; nos referimos a esta distribución de nuestra estadística a lo largo de diferentes muestras como *distribución muestral*. 

<!--Sampling error is directly related to the quality of our measurement of the population. Clearly we want the estimates obtained from our sample to be as close as possible to the true value of the population parameter.  However, even if our statistic is unbiased (that is, we expect it to have the same value as the population parameter), the value for any particular estimate will differ from the population value, and those differences will be greater when the sampling error is greater.  Thus, reducing sampling error is an important step towards better measurement.-->
El error de muestreo está directamente relacionado a la calidad de nuestra medición de la población. Claramente queremos que los estimados obtenidos de nuestra muestra sean lo más cercanos posible al verdadero valor del parámetro poblacional. Sin embargo, incluso cuando nuestra estadística no está sesgada (esto es, que esperamos que tenga el mismo valor que el parámetro poblacional), el valor para cualquier estimado particular va a diferir del valor poblacional, y esas diferencias van a ser mayores cuando el error de muestreo sea mayor. De este modo, reducir el error de muestreo es un paso importante para mejorar la medición. 

<!--We will use the NHANES dataset as an example; we are going to assume that the NHANES dataset is the entire population of interest,  and then we will draw random samples from this population. We will have more to say in the next chapter about exactly how the generation of "random" samples works in a computer.-->
Vamos a usar el conjunto de datos NHANES como ejemplo; vamos a asumir que el conjunto de datos NHANES es toda nuestra población de interés, y luego extraeremos muestras de datos aleatorios de dicha población.  Mencionaremos más en el siguiente capítulo acerca de cómo funcionan las muestras "aleatorias" en un software estadístico.

```{r echo=FALSE}
# load the NHANES data library
library(NHANES)

# create a NHANES dataset without duplicated IDs 
NHANES <-
  NHANES %>%
  distinct(ID, .keep_all = TRUE) 

#create a dataset of only adults
NHANES_adult <- 
  NHANES %>%
  filter( 
    !is.na(Height), 
    Age >= 18
  )

```

<!--In this example, we know the adult population mean (`r I(mean(NHANES_adult$Height))`) and standard deviation (`r I(sd(NHANES_adult$Height))`) for height because we are assuming that the NHANES dataset *is* the population. Table \@ref(tab:sampleExample) shows the statistics computed from a few samples of 50 individuals from the NHANES population.-->
En este ejemplo, sabemos que la media de la población adulta es (`r I(mean(NHANES_adult$Height))`) y la desviación estándar (`r I(sd(NHANES_adult$Height))`) para la altura porque estamos asumiendo que el conjunto de datos NHANES *es* la población. La Tabla \@ref(tab:sampleExample) muestra estadísticos calculados de algunas muestras de 50 personas de la población NHANES. 


<!-- caption='Example means and standard deviations for several samples of Height variable from NHANES.' -->
```{r sampleExample, echo=FALSE}
# sample 50 individuals from NHANES dataset
sample_df <- data.frame(sampnum=seq(5), sampleMean=0, sampleSD=0)

for (i in 1:5){
  exampleSample <- 
    NHANES_adult %>% 
    sample_n(50) %>%
    pull(Height)
  sample_df$sampleMean[i] <- mean(exampleSample)
  sample_df$sampleSD[i] <- sd(exampleSample)
}
sample_df <- sample_df %>%
  dplyr::select(-sampnum)
kable(sample_df, caption='Ejemplos de medias y desviaciones estándar para varios ejemplos de la variable de Altura de NHANES.')
```


```{r echo=FALSE}
# compute sample means across 5000 samples from NHANES data
sampSize <- 50 # size of sample
nsamps <- 5000 # number of samples we will take

# set up variable to store all of the results
sampMeans <- array(NA, nsamps)

# Loop through and repeatedly sample and compute the mean
for (i in 1:nsamps) {
  NHANES_sample <- sample_n(NHANES_adult, sampSize)
  sampMeans[i] <- mean(NHANES_sample$Height)
}

sampMeans_df <- tibble(sampMeans = sampMeans)

```

<!-- The sample mean and standard deviation are similar but not exactly equal to the population values.  Now let's take a large number of samples of 50 individuals, compute the mean for each sample, and look at the resulting sampling distribution of means. We have to decide how many samples to take in order to do a good job of estimating the sampling distribution -- in this case we will take 5000 samples so that we are very confident in the answer. Note that simulations like this one can sometimes take a few minutes to run, and might make your computer huff and puff. The histogram in Figure \@ref(fig:samplePlot) shows that the means estimated for each of the samples of 50 individuals vary somewhat, but that overall they are centered around the population mean.  The average of the 5000 sample means (`r I(formatC(mean(sampMeans), digits=4, format='f'))`) is very close to the true population mean (`r I(formatC(mean(NHANES_adult$Height), digits=4, format='f'))`).-->
La media y la desviación estándar de la muestra son similares pero no exactamente iguales a los valores de la población. Ahora tomemos una gran cantidad de muestras de 50 individuos, calculemos la media de cada muestra y observemos la distribución muestral de medias resultante. Tenemos que decidir cuántas muestras tomar para hacer un buen trabajo en la estimación de la distribución muestral -- en este caso, tomaremos 5000 muestras para estar muy segurxs de la respuesta. Ten en cuenta que simulaciones como esta a veces pueden tardar unos minutos en ejecutarse y pueden hacer que tu computadora resople y reniege. El histograma de la Figura \@ref(fig:samplePlot) muestra que las medias estimadas para cada una de las muestras de 50 individuos varían un poco, pero que en general se centran en la media de la población. El promedio de las 5000 medias muestrales (`r I(formatC(mean(sampMeans), digits=4, format='f'))`) está muy cerca de la media poblacional real (`r I(formatC(mean(NHANES_adult$Height), digits=4, format='f'))`).


<!-- fig.cap="The blue histogram shows the sampling distribution of the mean over 5000 random samples from the NHANES dataset.  The histogram for the full dataset is shown in gray for reference." -->
```{r samplePlot,echo=FALSE,fig.cap="El histograma azul muestra la distribución muestral de la media de más de 5000 muestras aleatorias del conjunto de datos NHANES. El histograma del conjunto de datos completo se muestra en gris como referencia.",fig.width=8,fig.height=4,out.height='50%'}

sampMeans_df %>% 
  ggplot(aes(sampMeans)) +
  geom_histogram(
    data = NHANES_adult, 
    aes(Height, ..density..),
    bins = 100, col = "gray", fill = "gray"
  ) +
  geom_histogram(
    aes(y = ..density.. * 0.2),
    bins = 100,
    col = "blue", fill = "blue"
  ) +
  geom_vline(xintercept = mean(NHANES_adult$Height)) +
  annotate(
    "text",
    x = 165, 
    y = .09,
    label = "Population mean"
  ) +
  labs(
      x = "Height (cm)"
  )
```

<!--## Standard error of the mean {#standard-error-of-the-mean}-->
## Error estándar de la media {#standard-error-of-the-mean}

<!--Later in the book it will become essential to be able to characterize how variable our samples are, in order to make inferences about the sample statistics. For the mean, we do this using a quantity called the *standard error* of the mean (SEM), which one can think of as the standard deviation of the sampling distribution. To compute the standard error of the mean for our sample, we divide the estimated standard deviation by the square root of the sample size:-->
Más adelante en el libro será esencial poder caracterizar qué tan variables son nuestras muestras, para poder hacer inferencias sobre la estadística de la muestra. Para la media, hacemos esto utilizando una cantidad llamada *error estándar* de la media (SEM, *standard error of the mean*), podemos pensar en ella como la desviación estándar de la distribución muestral de las medias. Para calcular el error estándar de la media para nuestra muestra, dividimos la desviación estándar estimada entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra:

$$
SEM = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
$$

<!--Note that we have to be careful about computing SEM using the estimated standard deviation if our sample is small (less than about 30).-->
Nota que tenemos que ser cuidadoses al calcular el error estándar de la media utilizando la desviación estándar estimada si nuestra muestra es pequeña (menor que 30). 

<!--Because we have many samples from the NHANES population and we actually know the population SEM (which we compute by dividing the population standard deviation by the size of the population), we can confirm that the SEM computed using the population parameter (`r I(formatC(sd(NHANES_adult$Height)/sqrt(sampSize), digits=2, format='f'))`) is very close to the observed standard deviation of the means for the samples that we took from the NHANES dataset (`r I(formatC(sd(sampMeans), digits=2, format='f'))`).  -->
Debido a que tenemos muchas muestras de la población NHANES y realmente conocemos el SEM de la población (que calculamos dividiendo la desviación estándar de la población entre el tamaño de la población), podemos confirmar que el SEM que se calculó usando el parámetro de población (`r I(formatC(sd(NHANES_adult$Height)/sqrt(sampSize), digits=2, format='f'))`) está muy cerca de la desviación estándar observada de las medias para las muestras que tomamos del conjunto de datos NHANES (`r I(formatC(sd(sampMeans), digits=2, format='f'))`).

<!-- The formula for the standard error of the mean implies that the quality of our measurement involves two quantities: the population variability, and the size of our sample.  Because the sample size is the denominator in the formula for SEM, a larger sample size will yield a smaller SEM when holding the population variability constant. We have no control over the population variability, but we *do* have control over the sample size.  Thus, if we wish to improve our sample statistics (by reducing their sampling variability) then we should use larger samples.  However, the formula also tells us something very fundamental about statistical sampling -- namely, that the utility of larger samples diminishes with the square root of the sample size. This means that doubling the sample size will *not* double the quality of the statistics; rather, it will improve it by a factor of $\sqrt{2}$. In Section \@ref(statistical-power) we will discuss statistical power, which is intimately tied to this idea.-->
La fórmula para el error estándar de la media implica que la calidad de nuestra medición involucra dos cantidades: la variabilidad de la población y el tamaño de nuestra muestra. Dado que el tamaño de la muestra es el denominador en la fórmula de SEM, un tamaño de muestra más grande producirá un SEM más pequeño cuando se mantiene constante la variabilidad de la población. No tenemos control sobre la variabilidad de la población, pero *sí* tenemos control sobre el tamaño de la muestra. Por lo tanto, si deseamos mejorar nuestras estadísticas muestrales (reduciendo su variabilidad muestral), entonces deberíamos utilizar muestras más grandes. Sin embargo, la fórmula también nos dice algo muy fundamental sobre el muestreo estadístico, a saber, que la utilidad de muestras más grandes disminuye con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Esto significa que duplicar el tamaño de la muestra *no* duplicará la calidad de las estadísticas; más bien, lo mejorará en un factor de $\sqrt{2}$. En la Sección \@ref(statistical-power) discutiremos la potencia estadística, que está íntimamente ligada a esta idea.

<!-- ## The Central Limit Theorem {#the-central-limit-theorem}-->
## El teorema del límite central {#the-central-limit-theorem}

<!--The Central Limit Theorem tells us that as sample sizes get larger, the sampling distribution of the mean will become normally distributed, *even if the data within each sample are not normally distributed*.  -->
El teorema del límite central nos dice que a medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución muestral de la media se distribuirá normalmente, *incluso si los datos dentro de cada muestra no se distribuyen normalmente*.

<!-- First, let's say a little bit about the normal distribution. It's also known as the *Gaussian* distribution, after Carl Friedrich Gauss, a mathematician who didn't invent it but played a role in its development.  The normal distribution is described in terms of two parameters: the mean (which you can think of as the location of the peak), and the standard distribution (which specifies the width of the distribution).  The bell-like shape of the distribution never changes, only its location and width.  The normal distribution is commonly observed in data collected in the real world, as we have already seen in Chapter 3 --- and the central limit theorem gives us some insight into why that occurs. -->
Primero, comentemos un poco sobre la distribución normal. También se conoce como la distribución *gaussiana*, en honor a Carl Friedrich Gauss, un matemático que no la inventó pero que jugó un papel en su desarrollo. La distribución normal se describe en términos de dos parámetros: la media (que puede considerarse como la ubicación del pico) y la desviación estándar (que especifica el ancho de la distribución). La forma de campana de la distribución nunca cambia, solo su ubicación y ancho. La distribución normal se observa comúnmente en los datos recopilados en el mundo real, como ya hemos visto en el capítulo 3 -- y el teorema del límite central nos da una idea de por qué ocurre eso.

<!-- To see the central limit theorem in action, let's work with the variable AlcoholYear from the NHANES dataset, which is highly skewed, as shown in the left panel of Figure \@ref(fig:alcDist50). This distribution is, for lack of a better word, funky -- and definitely not normally distributed.  Now let's look at the sampling distribution of the mean for this variable. Figure \@ref(fig:alcDist50) shows the sampling distribution for this variable, which is obtained by repeatedly drawing samples of size 50 from the NHANES dataset and taking the mean. Despite the clear non-normality of the original data, the sampling distribution is remarkably close to the normal.-->
Para ver el teorema del límite central en acción, trabajemos con la variable $AlcoholYear$ del conjunto de datos NHANES, que está muy sesgada, como se muestra en el panel izquierdo de la Figura \@ref(fig:alcDist50). Esta distribución es, a falta de una palabra mejor, original -- y definitivamente no se distribuye normalmente. Ahora veamos la distribución muestral de la media de esta variable. La Figura \@ref(fig:alcDist50) muestra la distribución muestral para esta variable, que se obtiene extrayendo repetidamente muestras de tamaño 50 del conjunto de datos NHANES y tomando la media. A pesar de la clara no normalidad de los datos originales, la distribución muestral es notablemente cercana a la normal.

```{r, echo=FALSE}
# create sampling distribution function

get_sampling_dist <- function(sampSize, nsamps = 2500) {
  sampMeansFull <- array(NA, nsamps)
  NHANES_clean <- NHANES %>%
    drop_na(AlcoholYear)

  for (i in 1:nsamps) {
    NHANES_sample <- sample_n(NHANES_clean, sampSize)
    sampMeansFull[i] <- mean(NHANES_sample$AlcoholYear)
  }
  sampMeansFullDf <- data.frame(sampMeans = sampMeansFull)

  p2 <- ggplot(sampMeansFullDf, aes(sampMeans)) +
    geom_freqpoly(aes(y = ..density..), bins = 100, color = "blue", size = 0.75) +
    stat_function(
      fun = dnorm, n = 100,
      args = list(
        mean = mean(sampMeansFull),
        sd = sd(sampMeansFull)
      ), size = 1.5, color = "red"
    ) +
    xlab("mean AlcoholYear")
  return(p2)
}

```

<!-- fig.cap="Left: Distribution of the variable AlcoholYear in the NHANES dataset, which reflects the number of days that the individual drank in a year. Right: The sampling distribution of the mean for AlcoholYear in the NHANES dataset, obtained by drawing repeated samples of size 50, in blue.  The normal distribution with the same mean and standard deviation is shown in red." -->
```{r alcDist50,echo=FALSE,fig.cap="Izquierda: Distribución de la variable AlcoholYear en el conjunto de datos NHANES, la cual refleja el número de días que el individuo bebió en el año. Derecha: La distribución de muestreo de la media para AlcoholYear en el conjunto de datos NHANES, obtenido dibujando muestras repetidas de tamaño 50, en azul. La distribución normal con la misma media y  misma desviación estándar está mostrada en rojo.",  fig.width=8,fig.height=4,out.height='50%'}

NHANES_cleanAlc <- NHANES %>%	
  drop_na(AlcoholYear)	
p1 <- ggplot(NHANES_cleanAlc, aes(AlcoholYear)) +	
  geom_histogram(binwidth = 7)

p2 <- get_sampling_dist(50)
plot_grid(p1,p2)
```

<!--The Central Limit Theorem is important for statistics because it allows us to safely assume that the sampling distribution of the mean will be normal in most cases. This means that we can take advantage of statistical techniques that assume a normal distribution, as we will see in the next section.  It's also important because it tells us why normal distributions are so common in the real world; any time we combine many different factors into a single number, the result is likely to be a normal distribution. For example, the height of any adult depends on a complex mixture of their genetics and experience; even if those individual contributions may not be normally distributed, when we combine them the result is a normal distribution.-->
El teorema de límite central es importante para la estadística porque nos permite asumir con seguridad que la distribución de muestreo de la media va a ser normal en la mayoría de los casos. Esto significa que podemos tomar ventaja de las técnicas estadísticas que asumen una distribución normal, como veremos en la próxima sección. Es también importante porque nos dice por qué las distribuciones normales son tan comunes en el mundo real; siempre que combinamos factores diferentes en un solo número, el resultado muy probablemente será una distribución normal. Por ejemplo, la altura de cualquier adulto depende en una compleja mezcla de su genética y experiencia; incluso si las contribuciones individuales pueden no estar normalmente distribuidas, cuando las combinemos el resultado es una distribución normal. 



<!--## Confidence intervals {#confidence-intervals}-->
<!-- ## Intervalos de confianza {#confidence-intervals} -->
<!-- This entire section was deleted from original book. -->

<!--We saw in the previous section that with sufficient sample size, the sampling distribution of the mean is normally distributed, and that the standard error describes the standard deviation of this sampling distribution.  Using this knowledge, we can ask: What is the range of values within which we would expect to capture 95% of all estimates of the mean?  To answer this, we can use the normal distribution, for which we know the values between which we expect 95% of all sample means to fall; in statistical software, we generally refer to these as *quantiles*. Specifically, we need to determine the 2.5% and 97.5% quantiles of the of the distribution.  We choose these points because we want to find the 95% of values in the center of the distribution, so we need to cut off 2.5% on each end in order to end up with 95% in the middle.  Figure \@ref(fig:normalCutoffs) shows that this occurs for $Z \pm 1.96$.-->
<!-- Vimos en la sección previa que con una muestra suficiente en tamaño, la distribución de la media de muestreo está normalmente distribuida, y que el error estándar describe la desviación estándar  de esta distribución de muestreo. Usando este conocimiento, podemos preguntarnos: ¿Cuál es el rango de valores con el cual podemos esperar capturar el 95% de todos los estimados de la media? Para contestar esto, podemos usar la distribución normal, por la cual sabemos que los valores entre los cuales esperamos que caiga el 95% de todas las medias muestrales; en software estadístico, nos referimos generalmente a estos como *cuantiles*. Específicamente, necesitamos determinar los cuantiles 2.5% y 9.7% de la distribución. Elegimos estos puntos porque queremos encontrar el 95% de los valores en el centro de la distribución, así que necesitamos cortar 2.5% en cada extremo para así poder terminar con 95% en el medio. La Figura \@ref(fig:normalCutoffs) muestra que esto ocurre para $Z \pm 1.96$.  -->

```{r normalCutoffs, echo=FALSE, fig.cap="Distribución normal, con la sección anaranjada en el centro denotando el rango en el cual se espera el 95% de todos los valores. La sección verde muestra las porciones de la distribución que están más al extremo, las cuales esperaríamos que ocurrieran menos de 5% del tiempo.",fig.width=4,fig.height=4,out.height='50%'}

if(FALSE){
# create utility functions

dnormfun <- function(x){
  return(dnorm(x,248))
}

plot_CI_cutoffs <- function(pct,zmin=-4,zmax=4,zmean=0,zsd=1) {
  zcut <- qnorm(1 - (1-pct)/2,mean=zmean,sd=zsd)
  zmin <- zmin*zsd + zmean
  zmax <- zmax*zsd + zmean
  x <- seq(zmin,zmax,0.1*zsd)
  zdist <- dnorm(x,mean=zmean,sd=zsd)
  area <- pnorm(zcut) - pnorm(-zcut)

  p2 <- ggplot(data.frame(zdist=zdist,x=x),aes(x,zdist)) +
    xlab('Z score') + xlim(zmin,zmax) + ylab('density')+
    geom_line(aes(x,zdist),color='red',size=2) +
    stat_function(fun = dnorm, args=list(mean=zmean,sd=zsd),
                  xlim = c(zmean -zcut*zsd,zmean + zsd*zcut),
                  geom = "area",fill='orange')  +
    stat_function(fun = dnorm, args=list(mean=zmean,sd=zsd),
                  xlim = c(zmin,zmean -zcut*zsd),
                  geom = "area",fill='green')  +
    stat_function(fun = dnorm, args=list(mean=zmean,sd=zsd),
                  xlim = c(zmean +zcut*zsd,zmax),
                  geom = "area",fill='green')  +
    annotate('text',x=zmean,
             y=dnorm(zmean,mean=zmean,sd=zsd)/2,
             label=sprintf('%0.1f%%',area*100))  +
    annotate('text',x=zmean - zsd*zcut,
             y=dnorm(zmean-zcut*zsd,mean=zmean,sd=zsd)+0.05/zsd,
             label=sprintf('%0.2f',zmean - zsd*zcut))  +
    annotate('text',x=zmean + zsd*zcut,
             y=dnorm(zmean-zcut*zsd,mean=zmean,sd=zsd)+0.05/zsd,
             label=sprintf('%0.2f',zmean + zsd*zcut)) 
  
    print(p2)
    return(zcut)
}

zcut <- plot_CI_cutoffs(0.95)
}
```

<!--Using these cutoffs, we can create a confidence interval for the estimate of the mean: -->
<!--Usando estos puntos de corte, podemos crear un intervalo de confianza para el estimado de la media:-->

<!-- 
$$
CI_{95\%} = \bar{X} \pm 1.96*SEM
$$ 
-->

<!-- Let's compute the confidence interval for the NHANES height data.-->
<!-- Calculemos el intervalo de confianza para los datos de altura de NHANES. -->


```{r echo=FALSE}
if(FALSE){

# compute confidence intervals

NHANES_sample <- sample_n(NHANES_adult,250)

sample_summary <- NHANES_sample %>%
    summarize(mean=mean(Height),
            sem=sd(Height)/sqrt(sampSize)) %>%
    mutate(CI_lower=mean-1.96*sem,
           CI_upper=mean+1.96*sem)
names(sample_summary) = c('Sample mean', 'SEM', 'Lower bound of CI', 'Upper bound of CI')
kable(sample_summary)
}
```

```{r echo=FALSE}
if(FALSE){

# compute how often the confidence interval contains the true population mean
nsamples <- 2500
sampSize <- 100

ci_contains_mean <- array(NA,nsamples)

for (i in 1:nsamples) {
  NHANES_sample <- sample_n(NHANES_adult, sampSize)
  sample_summary <- 
    NHANES_sample %>%
    summarize(
      mean = mean(Height),
      sem = sd(Height) / sqrt(sampSize)
    ) %>%
    mutate(
      CI_upper = mean + 1.96 * sem,
      CI_lower = mean - 1.96 * sem
    )
  ci_contains_mean[i] <- 
    (sample_summary$CI_upper > mean(NHANES_adult$Height)) & 
    (sample_summary$CI_lower < mean(NHANES_adult$Height))
}
}

```




<!--## Learning objectives-->
## Objetivos de aprendizaje

<!--Having read this chapter, you should be able to:
* Distinguish between a population and a sample, and between population parameters and sample statistics
* Describe the concepts of sampling error and sampling distribution
* Compute the standard error of the mean
* Describe how the Central Limit Theorem determines the nature of the sampling distribution of the mean
* Compute a confidence interval for the mean based on the normal distribution, and describe its appropriate interpretation-->
Al haber leído este capítulo, tu deberías de ser capaz de: 

* Distinguir entre una población y una muestra, y entre parámetros de población y estadísticas de muestra
* Describir los conceptos de error muestral y distribución muestral.
* Calcular el error estándar de la media.
* Describir cómo el teorema del límite central determina la naturaleza de la distribución muestral de la media.
<!-- * Calcular un intervalo de confianza para la media basado en la distribución normal y describa su interpretación apropiada. -->

<!--## Suggested readings-->
## Lecturas sugeridas 

- *The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail - But Some Don't*, por Nate Silver.