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难度：中等
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。
示例:
- nums = [1, 2, 3]
- target = 4
所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
因此输出为 7。
《代码随想录》算法视频公开课：装满背包有几种方法？求排列数？| LeetCode：377.组合总和IV，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。
对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：动态规划：关于完全背包，你该了解这些！
本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！
弄清什么是组合，什么是排列很重要。
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
大家在公众号里学习回溯算法专题的时候，一定做过这两道题目回溯算法：39.组合总和和回溯算法：40.组合总和II会感觉这两题和本题很像！
但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。
如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
- 确定递推公式
dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。
因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。
在动态规划：494.目标和 和 动态规划：518.零钱兑换II中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题也一样。
- dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。
至于dp[0] = 1 有没有意义呢？
其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。
至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？
初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。
- 确定遍历顺序
个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。
得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。
本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。
在动态规划：518.零钱兑换II 中就已经讲过了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
- 举例来推导dp数组
我们再来用示例中的例子推导一下：
如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp[i]都打出来，看看和我们推导的一不一样。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
};
- 时间复杂度: O(target * n)，其中 n 为 nums 的长度
- 空间复杂度: O(target)
C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
但java就不用考虑这个限制，java里的int也是四个字节吧，也有可能leetcode后台对不同语言的测试数据不一样。
求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！
本题与动态规划：518.零钱兑换II就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。
如果对遍历顺序没有深度理解的话，做这种完全背包的题目会很懵逼，即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。
此时大家应该对动态规划中的遍历顺序又有更深的理解了。
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) {
for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
if (i >= nums[j]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
}卡哥版
class Solution:
def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
dp = [0] * (target + 1)
dp[0] = 1
for i in range(1, target + 1): # 遍历背包
for j in range(len(nums)): # 遍历物品
if i - nums[j] >= 0:
dp[i] += dp[i - nums[j]]
return dp[target]优化版
class Solution:
def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
dp = [0] * (target + 1) # 创建动态规划数组，用于存储组合总数
dp[0] = 1 # 初始化背包容量为0时的组合总数为1
for i in range(1, target + 1): # 遍历背包容量
for j in nums: # 遍历物品列表
if i >= j: # 当背包容量大于等于当前物品重量时
dp[i] += dp[i - j] # 更新组合总数
return dp[-1] # 返回背包容量为target时的组合总数
二维DP版
class Solution:
def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
# dp[][j]和为j的组合的总数
dp = [[0] * (target+1) for _ in nums]
for i in range(len(nums)):
dp[i][0] = 1
# 这里不能初始化dp[0][j]。dp[0][j]的值依赖于dp[-1][j-nums[0]]
for j in range(1, target+1):
for i in range(len(nums)):
if j - nums[i] >= 0:
dp[i][j] = (
# 不放nums[i]
# i = 0 时，dp[-1][j]恰好为0，所以没有特殊处理
dp[i-1][j] +
# 放nums[i]。对于和为j的组合，只有试过全部物品，才能知道有几种组合方式。所以取最后一个物品dp[-1][j-nums[i]]
dp[-1][j-nums[i]]
)
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[-1][-1]func combinationSum4(nums []int, target int) int {
//定义dp数组
dp := make([]int, target+1)
// 初始化
dp[0] = 1
// 遍历顺序, 先遍历背包,再循环遍历物品
for j:=0;j<=target;j++ {
for i:=0 ;i < len(nums);i++ {
if j >= nums[i] {
dp[j] += dp[j-nums[i]]
}
}
}
return dp[target]
}const combinationSum4 = (nums, target) => {
let dp = Array(target + 1).fill(0);
dp[0] = 1;
for(let i = 0; i <= target; i++) {
for(let j = 0; j < nums.length; j++) {
if (i >= nums[j]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
};function combinationSum4(nums: number[], target: number): number {
const dp: number[] = new Array(target + 1).fill(0);
dp[0] = 1;
// 遍历背包
for (let i = 1; i <= target; i++) {
// 遍历物品
for (let j = 0, length = nums.length; j < length; j++) {
if (i >= nums[j]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
};impl Solution {
pub fn combination_sum4(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
let target = target as usize;
let mut dp = vec![0; target + 1];
dp[0] = 1;
for i in 1..=target {
for &n in &nums {
if i >= n as usize {
dp[i] += dp[i - n as usize];
}
}
}
dp[target]
}
}public class Solution
{
public int CombinationSum4(int[] nums, int target)
{
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++)
{
for (int j = 0; j < nums.Length; j++)
{
if (i >= nums[j] && dp[i] < int.MaxValue - dp[i - nums[j]])
{
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
}
