Add ring docs (#28)

* Add basic concept of ring

* Add equivalence relation docs

* Remove file properties

* Add binary relation docs

* Add Ring Homomorphism docs

content/Basic Algebra/Binary Relation.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+# 정의
+주어진 집합 $A$에 대해 binary relation(이항 관계)는 $A \times A$ 의  부분집합이 되는 순서쌍들의 집합이다. 이항 관계 $R$의 순서쌍 $(x, y) \in R$ 의 $x$와 $y$사이에는 특정한 관계가 성립하는데, 이를 $xRy$, $R(x, y)$, $x \sim_R y$ 혹은 $x \sim y$와 같이 표기한다. 
+
+# 예시
+대표적인 이항 관계로 반사 관계, 대칭 관계, 전이 관계 등이 있다.
+1) Reflexive(반사 관계): $a \sim a$이다
+2) Symmetric(대칭 관계): $a \sim b$ 인 경우 오직 그런 경우에만 $b \sim a$이다
+3) Transitive(전이 관계): $a \sim b$이고 $b \sim a$이면 $a \sim c$이다
+4) Anti-symmetric(반대칭 관계): $a \sim b$이고 $b \sim a$ 이면 $a = b$

content/Basic Algebra/Discrete Fourier Transform.md

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-title: Discrete Fourier Transform
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 # Definition
 The Discrete Fourier Transform (DFT) refers to the Fourier transform applied to discrete values (discrete time to discrete frequency). When computed using the Fast Fourier Transform (FFT), the DFT can be calculated quickly in O(nlogn) time for n values. Therefore, it can be used to efficiently compute polynomial multiplication or vector convolution, which would otherwise require $O(n^2)$ time (where n is the degree of the polynomial).

content/Basic Algebra/Equivalence Relation.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+# 정의
+집합 $X$위의 [[Binary Relation]] $\sim$ 이 $a, b, c, \in X$에 대해 다음과 같은 성질을 만족시킬때, 이를 $X$ 위의 equivalence relation(동치 관계)라 부른다.
+1) Reflexive(반사 관계)
+2) Symmetric(대칭 관계)
+3) Transitive(전이 관계)
+
+## 동치류
+집합 $X$ 위에서 어떤 특정한 원소와 동치 관계 $\sim$가 성립하는 원소들의 집합을 동치류라고 부른다. 예를 들어, 어떤 원소 $a$에 대한 동치류는 다음과 같이 나타낸다.
+$$[a] = \{x\in X: x \sim a\}$$

content/Basic Algebra/Fast Fourier Transform.md

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-title: Fast Fourier Transfrom
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 # Definition
 Fast Fourier Transform (FFT) is a technique that utilizes the periodicity of the root of unity to perform the [[Discrete Fourier Transform]] in \(O(n \log n)\) time. [Root of Unity]([[Discrete Fourier Transform#^1735c9]]) has the following property: $$\omega^{n/2+j}=-\omega^j$$ Using this property, we can divide the DFT calculation of length \(N\) into two DFT calculations of length \(N/2\). This is known as the Danielson-Lanczos Lemma and forms the basis of the FFT.
 

content/Basic Algebra/Ideal.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+# 정의
+[[Ring]](환) $(R, +, \cdot)$가 주어졌을 때, $R$의 **부분집합** $I$가 아래와 같은 조건을 만족하면 이를 **ideal**(아이디얼)이라 부른다.
+1) $(I, +)$가 $(R,+)$의 [[Subgroup]]이다.
+2) 모든 $r \in R, x \in I$에 대해, $rx \in I$이고 $xr \in I$이다.
+	- 해당 조건에서 $rx \in I$만 성립하는 경우를 **left ideal**(왼쪽 아이디얼), $xr \in I$만 성립하는 경우를 **right ideal**(오른쪽 아이디얼)이라 부른다. 두 조건 모두 만족시키는 경우 **two-sided ideal**(양쪽 아이디얼) 혹은 ideal이라 부른다.
+
+# 특징
+아이디얼에 관해 다음과 같은 특징이 존재한다.
+- 왼쪽 아이디얼의 [[Opposite Ring]](반대환)은 오른쪽 아이디얼이며, 오른쪽 아이디얼에 대해서도 동일한 관계가 성립한다.
+- 아이디얼은 환 $(R, +, \cdot)$의 부분 [[Pseudoring]](유사환)이다.

content/Basic Algebra/Quotient Ring.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+# 정의
+[[Ring]](환) $(R, +, \cdot)$과 [[Ideal]](아이디얼) $I$가 주어졌을 때, $R/I$에 대해 다음과 같은 연산을 정의하면 이 또한 환이 되며, 이를 quotient ring(몫환)이라 부른다.
+
+>[! Definition] $R/I$
+>덧셈: $R/I$에서 두 동치류* $[a]$와 $[b]$의 덧셈은 $[a] + [b] = [a+b]$로 정의된다.
+>곱셈: $R/I$에서 두 동치류* $[a]$와 $[b]$의 곱셈은 $[a]\cdot[b]=[a\cdot b]$로 정의된다.
+>*동치류에 관해서는 [[Equivalence Relation]]을 참고
+
+몫환은 복잡한 대수적 구조를 단순한 형태로 축소시키는 역할을 하며, [[Ring Isomorphism]]과 같은 중요한 개념을 도출하는 데에 도움이 된다.

content/Basic Algebra/Residue Number System.md

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-title: Residue Number System
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 Residue Number System(RNS)은 정수를 표현하고 연산하는 데에 사용되는 number system의 하나로, 병렬 연산에 유리하다는 특징이 있다. RNS에서는 정수를 여러 개의 서로 다른 서로소인 정수들(이후 기수 집합이라고 부르게 되는 것)으로 표현하며, 기반이 되는 원리에는 [[Chinese remainder theorem]]가 있다. 즉 서로소인 정수들이 주어졌을 때, 이들에 대한 연립 합동식의 해가 유일하다는 것에 기반하여 여러 서로소 정수들로 하나의 정수를 나타낼 수 있는 것이다.
 
 ## RNS Representation

content/Basic Algebra/Ring Homomorphism.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+두 개의 [[Ring]](환) $R, S$에 대해 어떤 사상 $f:R \to S$ 가 다음의 조건을 만족하면 해당 사상을 ring homorphism(환준동형사상)이라 부른다. 
+1) 임의의 $(x, y) \in R$에 대해, $f(a+b) = f(a) + f(b)$가 성립한다.
+2) 임의의 $(x, y) \in R$에 대해, $f(ab) = f(a)\cdot f(b)$가 성립한다.
+3) $f(1_R)= 1_S$가 성립한다.
+이 때, 각 조건의 좌항에 있는 연산은 $R$에서 정의된 연산이고, 우항에 있는 연산은 $S$에서 정의된 연산이다. 이러한 사상 $f$가 전단사이면 이를 [[Ring Isomorphism]](환동형사상)이라 부른다.

content/Basic Algebra/Ring.md

@@ -0,0 +1,20 @@
+# 정의
+Ring(환)은 집합과 덧셈, 곱셈 연산을 가지는 대수구조를 의미한다. 어떤 집합 $R$에 대해 아래와 같은 덧셈($+$) 및 곱셈($\cdot$) 연산이 잘 정의되어 있으면 $(R, +, \cdot)$을 **ring**이라 부른다.
+1) $(R, +)$이 [[Commutative Group]]을 이룬다.
+	- 결합법칙이 성립한다. $a+(b+c)=(a+b)+c$
+	- 교환법칙이 성립한다. $a+b = b+a$
+	- 항등원이 존재한다. $a+0_R = a$
+	- 역원이 존재한다. $a + x = 0_R$, $x \in R$
+2) $(R, \cdot)$은 [[Monoid]]이다.
+	- 결합법칙이 성립한다. $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
+	- 항등원이 존재한다. $a \cdot 1_R = a$
+3) 분배 법칙이 성립한다.
+	- $(a+b)\cdot c =a \cdot c + b \cdot c$
+	- $c \cdot (a+ b) =a \cdot c + b \cdot c$
+
+# 종류
+- [[Commutative Ring]]
+- [[Unit Ring]]
+- [[Division Ring]]
+- [[Quotient Ring]]
+- [[Pseudoring]]