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content/Basic Algebra/Abelian Group.md

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+# Abelian Group의 정의
+[[Group]] $(G, ∗)$가 $*$의 교환법칙을 만족하면, 즉 $*$가 교환적 (commutative)이라면, 이 group을 abelian 또는 commutative group이라고 정의한다.
+
+# 예시
+1. $(\mathbb{Z}, +)$는 Abelian Group이다. 따라서 [[Monoid]]이기도 하다.

content/Basic Algebra/Basic Algebra.md

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 - [[Discrete logarithm]]
 - [[ECDLP]]
 - [[Ideal]]
-
+- [[Abelian Group]]

content/Basic Algebra/Binary Operation.md

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+# 정의  
+집합 $S$ 위의 binary operation은 $S \times  S$ 의 원소들을  $S$ 로 매핑하는 것을 의미한다. 즉, 이는 함수 $f$  : $S \times S$ $\rightarrow$ $S$ 를 의미한다. Binary operation  $*$ :  $S \times S$ $\rightarrow$ $S$ 가 주어졌을 때, $*(a, b)$를 $a * b$로 표기한다.
+
+# 예시  
+$Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R})$가 2 × 2 실수 행렬의 집합이라고 하자. 이때, 행렬 곱셈  $(A, B) \mapsto AB$는 binary operation이다.

content/Basic Algebra/Discrete logarithm.md

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+일반적인 로그(Logarithm)란 지수 함수의 역함수, 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑은 몇번 곱하여야 하는지를 나타낸다고 볼 수 있다. 즉, $a^x = b$를 만족하는 $x$를 가리킨다.
+
+이산 로그는 일반 로그와 같은 형태이지만 군론의 이산적인 대수 구조에서 정의된 연산이다. 이산 로그의 가장 단순한 형태는 $Z_p^*$ 에서 정의하는 것이다. $Z^*_p$의 집합이 $\{1, ..., p-1\}$이고 소수 $p$의 모듈로 곱셈에 대해 닫혀있다고  하자. $Z^*_p$의 어떤 수 $g$와 $y$가 주어졌을 때, $g^x \equiv y \mod p$ 를 만족하는 $x$, 즉, $\log_gy$를 구하는 문제가 이산 로그 문제(Discrete Logarithm Problem)이다.
+
+위 식에서 소수 $p$가 충분히 클 때 $g$와 $x$로부터 $y$를 구하는 것은 쉽지만, $g$와 $y$로부터 $x$를 구하는 것은 어렵다는 성질이 있다. 이러한 성질을 이용한 암호 시스템이 [[ElGamal]], [[Diffie-Hellman]] 등이 있다.

content/Basic Algebra/Group.md

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+# Group의 정의
+
+집합 $G$ 위의 [[Binary Operation]] $*$ : $G \times G \rightarrow G$ 가 주어졌을 때, $G$와 $*$가 다음 조건을 만족하면 $G$와 $*$를 합쳐서 Group이라고 정의한다:
+
+1. $*$는 결합적이다 (associative).
+
+2. $G$에 항등원 $e \in G$가 존재한다.
+
+3. $G$의 각 $a \in G$에 대해, $a$의 역원 $a^{-1}$가 존재한다.
+# 예시
+1. $GL_{2}(\mathbb{R})$는 2×2 가역 행렬의 집합으로, 행렬 곱셈과 함께 Group이다.

content/Basic Algebra/Monoid.md

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+# Monoid의 정의
+
+집합 $S$ 위의 [Binary Operation] $*$ : $S \times S \rightarrow S$ 가 주어졌을 때, $S$와 $*$가 다음 조건을 만족하면 $S$와 $*$를 합쳐서 monoid라고 부른다:
+
+1. $*$는 결합적이다 (associative).
+
+2. $S$에 항등원 $e \in S$가 존재한다.
+
+# 예시
+1. $(\mathbb{Z}, \times)$는 Monoid이다. 그러나 [[Group]]은 아니다.
+
+2. $(Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \times)$는 Monoid이다. 그러나 [[Group]]은 아니다.

content/Basic Algebra/Subgroup.md

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+# 정의 
+[[Group]] $(G, ∗)$와 $G$의 부분집합 $H$가 주어졌을 때, $H$가 연산 $∗|_{H×H}$에 대해 Group을 형성하면, $H$를 $G$의 Subgroup이라고 한다. $H$가 $G$의 Subgroup임을 나타내기 위해 $H \le G$라고 쓴다.
+
+# 예시
+1. 주어진 $n \in \mathbb{Z}_{>0}$에 대해, $(n) := \{nx | x \in \mathbb{Z}\}$는 $(\mathbb{Z}, +)$의 Subgroup이다.
+2. $SL_{2}(\mathbb{R}) := \{A \in Mat_{2 \times 2}(\mathbb{R}) | \det(A) = 1\}$는 $(GL_{2}(\mathbb{R}), \times)$의 Subgroup이다.