update:更新核心算法套路

README.md

@@ -70,6 +70,7 @@ GitHub Pages 地址：https://labuladong.github.io/algo/
   * [动态规划解题框架](动态规划系列/动态规划详解进阶.md)
   * [动态规划答疑篇](动态规划系列/最优子结构.md)
   * [回溯算法解题框架](算法思维系列/回溯算法详解修订版.md)
+  * [提高刷题幸福感的小技巧](技术/刷题技巧.md)
   * [为了学会二分查找，我写了首诗](算法思维系列/二分查找详解.md)
   * [滑动窗口解题框架](算法思维系列/滑动窗口技巧.md)
   * [双指针技巧解题框架](算法思维系列/双指针技巧.md)
@@ -80,6 +81,7 @@ GitHub Pages 地址：https://labuladong.github.io/algo/
   * [动态规划答疑篇](动态规划系列/最优子结构.md)
   * [动态规划设计：最长递增子序列](动态规划系列/动态规划设计：最长递增子序列.md)
   * [编辑距离](动态规划系列/编辑距离.md)
+  * [经典动态规划：0-1 背包问题](动态规划系列/背包问题.md)
   * [经典动态规划问题：高楼扔鸡蛋](动态规划系列/高楼扔鸡蛋问题.md)
   * [经典动态规划问题：高楼扔鸡蛋（进阶）](动态规划系列/高楼扔鸡蛋进阶.md)
   * [动态规划之子序列问题解题模板](动态规划系列/子序列问题模板.md)

动态规划系列/背包问题.md

@@ -0,0 +1,160 @@
+# 动态规划之背包问题
+
+
+<p align='center'>
+<a href="https://github.com/labuladong/fucking-algorithm" target="view_window"><img alt="GitHub" src="https://img.shields.io/github/stars/labuladong/fucking-algorithm?label=Stars&style=flat-square&logo=GitHub"></a>
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+</p>
+
+![](../pictures/souyisou.png)
+
+相关推荐：
+  * [经典动态规划：最长公共子序列](https://labuladong.gitee.io/algo/)
+  * [特殊数据结构：单调栈](https://labuladong.gitee.io/algo/)
+
+**-----------**
+
+本文有视频版：[0-1背包问题详解](https://www.bilibili.com/video/BV15B4y1P7X7/)
+
+后台天天有人问背包问题，这个问题其实不难啊，如果我们号动态规划系列的十几篇文章你都看过，借助框架，遇到背包问题可以说是手到擒来好吧。无非就是状态 + 选择，也没啥特别之处嘛。
+
+今天就来说一下背包问题吧，就讨论最常说的 0-1 背包问题。描述：
+
+给你一个可装载重量为 `W` 的背包和 `N` 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 `i` 个物品的重量为 `wt[i]`，价值为 `val[i]`，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？
+
+举个简单的例子，输入如下：
+
+```
+N = 3, W = 4
+wt = [2, 1, 3]
+val = [4, 2, 3]
+```
+
+算法返回 6，选择前两件物品装进背包，总重量 3 小于 `W`，可以获得最大价值 6。
+
+题目就是这么简单，一个典型的动态规划问题。这个题目中的物品不可以分割，要么装进包里，要么不装，不能说切成两块装一半。这就是 0-1 背包这个名词的来历。
+
+解决这个问题没有什么排序之类巧妙的方法，只能穷举所有可能，根据我们 [动态规划详解](https://labuladong.gitee.io/algo/) 中的套路，直接走流程就行了。
+
+### 动规标准套路
+
+看来我得每篇动态规划文章都得重复一遍套路，历史文章中的动态规划问题都是按照下面的套路来的。
+
+**第一步要明确两点，「状态」和「选择」**。
+
+先说状态，如何才能描述一个问题局面？只要给几个物品和一个背包的容量限制，就形成了一个背包问题呀。**所以状态有两个，就是「背包的容量」和「可选择的物品」**。
+
+再说选择，也很容易想到啊，对于每件物品，你能选择什么？**选择就是「装进背包」或者「不装进背包」嘛**。
+
+明白了状态和选择，动态规划问题基本上就解决了，只要往这个框架套就完事儿了：
+
+```python
+for 状态1 in 状态1的所有取值：
+    for 状态2 in 状态2的所有取值：
+        for ...
+            dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1，选择2...)
+```
+
+PS：此框架出自历史文章 [团灭 LeetCode 股票问题](https://labuladong.gitee.io/algo/)。
+
+**第二步要明确 `dp` 数组的定义**。
+
+首先看看刚才找到的「状态」，有两个，也就是说我们需要一个二维 `dp` 数组。
+
+`dp[i][w]` 的定义如下：对于前 `i` 个物品，当前背包的容量为 `w`，这种情况下可以装的最大价值是 `dp[i][w]`。
+
+比如说，如果 `dp[3][5] = 6`，其含义为：对于给定的一系列物品中，若只对前 3 个物品进行选择，当背包容量为 5 时，最多可以装下的价值为 6。
+
+PS：为什么要这么定义？便于状态转移，或者说这就是套路，记下来就行了。建议看一下我们的动态规划系列文章，几种套路都被扒得清清楚楚了。
+
+根据这个定义，我们想求的最终答案就是 `dp[N][W]`。base case 就是 `dp[0][..] = dp[..][0] = 0`，因为没有物品或者背包没有空间的时候，能装的最大价值就是 0。
+
+细化上面的框架：
+
+```python
+int[][] dp[N+1][W+1]
+dp[0][..] = 0
+dp[..][0] = 0
+
+for i in [1..N]:
+    for w in [1..W]:
+        dp[i][w] = max(
+            把物品 i 装进背包,
+            不把物品 i 装进背包
+        )
+return dp[N][W]
+```
+
+**第三步，根据「选择」，思考状态转移的逻辑**。
+
+简单说就是，上面伪码中「把物品 `i` 装进背包」和「不把物品 `i` 装进背包」怎么用代码体现出来呢？
+
+这就要结合对 `dp` 数组的定义，看看这两种选择会对状态产生什么影响：
+
+先重申一下刚才我们的 `dp` 数组的定义：
+
+`dp[i][w]` 表示：对于前 `i` 个物品，当前背包的容量为 `w` 时，这种情况下可以装下的最大价值是 `dp[i][w]`。
+
+**如果你没有把这第 `i` 个物品装入背包**，那么很显然，最大价值 `dp[i][w]` 应该等于 `dp[i-1][w]`，继承之前的结果。
+
+**如果你把这第 `i` 个物品装入了背包**，那么 `dp[i][w]` 应该等于 `dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]`。
+
+首先，由于 `i` 是从 1 开始的，所以 `val` 和 `wt` 的索引是 `i-1` 时表示第 `i` 个物品的价值和重量。
+
+而 `dp[i-1][w - wt[i-1]]` 也很好理解：你如果装了第 `i` 个物品，就要寻求剩余重量 `w - wt[i-1]` 限制下的最大价值，加上第 `i` 个物品的价值 `val[i-1]`。
+
+综上就是两种选择，我们都已经分析完毕，也就是写出来了状态转移方程，可以进一步细化代码：
+
+```python
+for i in [1..N]:
+    for w in [1..W]:
+        dp[i][w] = max(
+            dp[i-1][w],
+            dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]
+        )
+return dp[N][W]
+```
+
+**最后一步，把伪码翻译成代码，处理一些边界情况**。
+
+我用 C++ 写的代码，把上面的思路完全翻译了一遍，并且处理了 `w - wt[i-1]` 可能小于 0 导致数组索引越界的问题：
+
+```cpp
+int knapsack(int W, int N, vector<int>& wt, vector<int>& val) {
+    // base case 已初始化
+    vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
+    for (int i = 1; i <= N; i++) {
+        for (int w = 1; w <= W; w++) {
+            if (w - wt[i-1] < 0) {
+                // 这种情况下只能选择不装入背包
+                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
+            } else {
+                // 装入或者不装入背包，择优
+                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], 
+                               dp[i - 1][w]);
+            }
+        }
+    }
+
+    return dp[N][W];
+}
+```
+
+至此，背包问题就解决了，相比而言，我觉得这是比较简单的动态规划问题，因为状态转移的推导比较自然，基本上你明确了 `dp` 数组的定义，就可以理所当然地确定状态转移了。
+
+接下来请阅读： 
+
+* [背包问题变体之子集分割](https://labuladong.gitee.io/algo/)
+* [完全背包问题之零钱兑换](https://labuladong.gitee.io/algo/)
+
+**＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿**
+
+**刷算法，学套路，认准 labuladong，公众号和 [在线电子书](https://labuladong.gitee.io/algo/) 持续更新最新文章**。
+
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+
+<p align='center'>
+<img src="../pictures/qrcode.jpg" width=200 >
+</p>

技术/刷题技巧.md

@@ -0,0 +1,155 @@
+# 刷题小技巧
+
+
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+</p>
+
+![](../pictures/souyisou.png)
+
+相关推荐：
+  * [一文解决三道区间问题](https://labuladong.gitee.io/algo/)
+  * [Union-Find算法详解](https://labuladong.gitee.io/algo/)
+
+**-----------**
+
+相信每个人都有过被代码的小 bug 搞得心态爆炸的经历，本文分享一个我最常用的简单技巧，可以大幅提升刷题的幸福感。
+
+在这之前，首先回答一个问题，刷力扣题是直接在网页上刷比较好还是在本地 IDE 上刷比较好？
+
+如果是牛客网笔试那种自己处理输入输出的判题形式，一定要在 IDE 上写，这个没啥说的，但**像力扣这种判题形式，我个人偏好直接在网页上刷**，原因有二：
+
+**1、方便**
+
+因为力扣有的数据结构是自定的，比如说 `TreeNode`，`ListNode` 这种，在本地你还得把这个类 copy 过去。
+
+而且在 IDE 上没办法测试，写完代码之后还得粘贴到网页上跑测试数据，那还不如直接网页上写呢。
+
+算法又不是工程代码，量都比较小，IDE 的自动补全带来的收益基本可以忽略不计。
+
+**2、实用**
+
+到时候面试的时候，面试官给你出的算法题大都是希望你直接在网页上完成的，最好是边写边讲你的思路。
+
+如果平时练习的时候就习惯没有 IDE 的自动补全，习惯手写代码大脑编译，到时候面试的时候写代码就能更快更从容。
+
+之前我面快手的时候，有个面试官让我 [实现 LRU 算法](https://labuladong.gitee.io/algo/)，我直接把双链表的实现、哈希链表的实现，在网页上全写出来了，而且一次无 bug 跑通，可以看到面试官惊讶的表情😂
+
+我秋招能当 offer 收割机，很大程度上就是因为手写算法这一关超出面试官的预期，其实都是因为之前在网页上刷题练出来的。
+
+接下来分享我觉得最常实用的干货技巧。
+
+### 如何给算法 debug
+
+代码的错误时无法避免的，有时候可能整个思路都错了，有时候可能是某些细节问题，比如 `i` 和 `j` 写反了，这种问题怎么排查？
+
+我想一般的算法问题肯定不难排查，肉眼检查应该都没啥问题，再不济 `print` 打印一些关键变量的值，总能发现问题。
+
+**比较让人头疼的的应该是递归算法的问题排查**。
+
+如果没有一定的经验，函数递归的过程很难被正确理解，所以这里就重点讲讲如何高效 debug 递归算法。
+
+有的读者可能会说，把算法 copy 到 IDE 里面，然后打断点一步步跟着走不就行了吗？
+
+这个方法肯定是可以的，但是之前的文章多次说过，递归函数最好从一个全局的角度理解，而不要跳进具体的细节。
+
+如果你对递归还不够熟悉，没有一个全局的视角，这种一步步打断点的方式也容易把人绕进去。
+
+**我的建议是直接在递归函数内部打印关键值，配合缩进，直观地观察递归函数执行情况**。
+
+最能提升我们 debug 效率的是缩进，除了解法函数，我们新定义一个函数 `printIndent` 和一个全局变量 `count`：
+
+```cpp
+// 全局变量，记录递归函数的递归层数
+int count = 0;
+
+// 输入 n，打印 n 个 tab 缩进
+void printIndent(int n) {
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        printf("   ");
+    }
+}
+```
+
+接下来，套路来了：
+
+**在递归函数的开头，调用 `printIndent(count++)` 并打印关键变量；然后在所有 `return` 语句之前调用 `printIndent(--count)` 并打印返回值**。
+
+举个具体的例子，比如说上篇文章 [练琴时悟出的一个动态规划算法](https://labuladong.gitee.io/algo/) 中实现了一个递归的 `dp` 函数，大致的结构如下：
+
+```cpp
+int dp(string& ring, int i, string& key, int j) {
+    /* base case */
+    if (j == key.size()) {
+        return 0;
+    }
+
+    /* 状态转移 */
+    int res = INT_MAX;
+    for (int k : charToIndex[key[j]]) {
+        res = min(res, dp(ring, j, key, i + 1));
+    }
+
+    return res;
+}
+```
+
+这个递归的 `dp` 函数在我进行了 debug 之后，变成了这样：
+
+```cpp
+int count = 0;
+void printIndent(int n) {
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        printf("   ");
+    }
+}
+
+int dp(string& ring, int i, string& key, int j) {
+    // printIndent(count++);
+    // printf("i = %d, j = %d\n", i, j);
+
+    if (j == key.size()) {
+        // printIndent(--count);
+        // printf("return 0\n");
+        return 0;
+    }
+
+    int res = INT_MAX;
+    for (int k : charToIndex[key[j]]) {
+        res = min(res, dp(ring, j, key, i + 1));
+    }
+
+    // printIndent(--count);
+    // printf("return %d\n", res);
+    return res;
+}
+```
+
+**就是在函数开头和所有 `return` 语句对应的地方加上一些打印代码**。
+
+如果去掉注释，执行一个测试用例，输出如下：
+
+![](../pictures/刷题技巧/1.jpg)
+
+这样，我们通过对比对应的缩进就能知道每次递归时输入的关键参数 `i, j` 的值，以及每次递归调用返回的结果是多少。
+
+**最重要的是，这样可以比较直观地看出递归过程，你有没有发现这就是一棵递归树**？
+
+![](../pictures/刷题技巧/2.jpg)
+
+前文 [动态规划套路详解](https://labuladong.gitee.io/algo/) 说过，理解递归函数最重要的就是画出递归树，这样打印一下，连递归树都不用自己画了，而且还能清晰地看出每次递归的返回值。
+
+**可以说，这是对刷题「幸福感」提升最大的一个小技巧，比 IDE 打断点要高效**。
+
+好了，本文分享就到这里，马上快过年了，估计大家都无心学习了，不过刷题还是要坚持的，这就叫弯道超车，顺便实践一下这个技巧。
+
+如果本文对你有帮助，点个在看，就会被推荐更多相似文章。
+
+**＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿**
+
+**《labuladong 的算法小抄》已经出版，关注公众号「labuladong」查看详情；后台回复关键词「进群」可加入算法群，回复题号获取对应的文章**：
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+![](../pictures/souyisou2.png)